Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 6.19 trang 108 SGK Toán 12 tập 2. Bài tập này thuộc chương trình học môn Toán lớp 12, tập trung vào kiến thức về số phức và các phép toán liên quan.
Giaitoan.edu.vn cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán hiệu quả.
Một bệnh viện đang xét nghiệm cho một số bệnh nhân để xác định liệu họ có nhiễm virus X hay không. Xác suất để một bệnh nhân bị nhiễm virus X là 0,05. Khi xét nghiệm, nếu một bệnh nhân bị nhiễm thì xác suất để kết quả xét nghiệm dương tính là 0,95. Nếu một bệnh nhân không bị nhiễm thì xác suất để kết quả xét nghiệm âm tính là 0,98. Một bệnh nhân được chọn ngẫu nhiên và có kết quả xét nghiệm dương tính. Xác suất để bệnh nhân đó thực sự bị nhiễm virus X là
Đề bài
Một bệnh viện đang xét nghiệm cho một số bệnh nhân để xác định liệu họ có nhiễm virus X hay không. Xác suất để một bệnh nhân bị nhiễm virus X là 0,05. Khi xét nghiệm, nếu một bệnh nhân bị nhiễm thì xác suất để kết quả xét nghiệm dương tính là 0,95. Nếu một bệnh nhân không bị nhiễm thì xác suất để kết quả xét nghiệm âm tính là 0,98. Một bệnh nhân được chọn ngẫu nhiên và có kết quả xét nghiệm dương tính. Xác suất để bệnh nhân đó thực sự bị nhiễm virus X là
A. \(\frac{{133}}{{2000}}\)
B. \(\frac{{19}}{{400}}\)
C. \(\frac{5}{7}\)
D. \(\frac{2}{7}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức Định lý Bayes như sau: \(P(A|B) = \frac{{P(B|A)P(A)}}{{P(B)}}\).
Trong đó:
- \(P(A|B)\) là xác suất để bệnh nhân bị nhiễm virus X khi kết quả xét nghiệm dương tính.
- \(P(B|A)\) là xác suất để kết quả xét nghiệm dương tính khi bệnh nhân bị nhiễm virus X.
- \(P(A)\) là xác suất để bệnh nhân bị nhiễm virus X.
- \(P(B)\) là xác suất để kết quả xét nghiệm dương tính.
Lời giải chi tiết
Theo đề bài ta có:
- Xác suất bệnh nhân bị nhiễm virus X: \(P(A) = 0,05\).
- Xác suất bệnh nhân không bị nhiễm virus X: \(P(\overline A ) = 0,95\).
- Xác suất để kết quả xét nghiệm dương tính khi bệnh nhân bị nhiễm virus X: \(P(B|A) = 0,95\).
- Xác suất để kết quả xét nghiệm âm tính khi bệnh nhân không bị nhiễm virus X: \(P(\bar B|\bar A) = 0,98\).
- Xác suất để kết quả xét nghiệm dương tính khi bệnh nhân không bị nhiễm virus X: \(P(B|\bar A) = 1 - 0,98 = 0,02\).
Để tính \(P(B)\) (xác suất để kết quả xét nghiệm dương tính), ta sử dụng công thức xác suất tổng hợp: \(P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|\bar A)P(\bar A)\).
Thay các giá trị đã cho vào công thức:
\(P(B) = 0,95 \times 0,05 + 0,02 \times 0,95\).
\(P(B) = 0,0475 + 0,019 = 0,0665\).
Áp dụng Định lý Bayes để tính \(P(A|B)\):
\(P(A|B) = \frac{{P(B|A)P(A)}}{{P(B)}}\).
Thay các giá trị vào công thức:
\(P(A|B) = \frac{{0,95 \times 0,05}}{{0,0665}} = \frac{{0,0475}}{{0,0665}} = \frac{5}{7}\) .
Chọn C
Bài tập 6.19 trang 108 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta tìm số phức z thỏa mãn một điều kiện nhất định. Để giải bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về số phức, bao gồm:
Để giải bài tập này, chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức đã nêu trên. Dưới đây là lời giải chi tiết:
Đề bài: Tìm số phức z thỏa mãn |z - (2 + i)| = √5 và z + z̄ = 4.
Giải:
|a + bi - (2 + i)| = √5
|(a - 2) + (b - 1)i| = √5
(a - 2)² + (b - 1)² = 5 (1)
(a + bi) + (a - bi) = 4
2a = 4
a = 2
(2 - 2)² + (b - 1)² = 5
(b - 1)² = 5
b - 1 = ±√5
b = 1 ± √5
z₁ = 2 + (1 + √5)i
z₂ = 2 + (1 - √5)i
Bài tập này giúp chúng ta rèn luyện kỹ năng giải phương trình với số phức, đồng thời củng cố kiến thức về module và số phức liên hợp. Để giải các bài toán tương tự, chúng ta cần:
Số phức không chỉ là một khái niệm trừu tượng trong toán học mà còn có nhiều ứng dụng quan trọng trong thực tế, đặc biệt trong các lĩnh vực:
Bài tập 6.19 trang 108 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập điển hình về số phức. Hy vọng với lời giải chi tiết và phân tích trên, các em học sinh đã hiểu rõ cách giải bài toán này và có thể áp dụng để giải các bài tập tương tự. Chúc các em học tập tốt!
