Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 5.19 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 tại giaitoan.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về số phức và các phép toán liên quan.
Chúng tôi cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chứng minh ba đường thẳng sau đây đôi một vuông góc: \({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - t}\\{y = 3 + 2t{\mkern 1mu} (t \in \mathbb{R})}\\{z = - 1 + 4t}\end{array}} \right.\quad {d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2m}\\{y = 1 - m{\mkern 1mu} (m \in \mathbb{R})}\\{z = 2 + m}\end{array}} \right.\quad {d_3}:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{z}{{ - 1}}\)
Đề bài
Chứng minh ba đường thẳng sau đây đôi một vuông góc:
\({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - t}\\{y = 3 + 2t{\mkern 1mu} (t \in \mathbb{R})}\\{z = - 1 + 4t}\end{array}} \right.\quad {d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2m}\\{y = 1 - m{\mkern 1mu} (m \in \mathbb{R})}\\{z = 2 + m}\end{array}} \right.\quad {d_3}:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{z}{{ - 1}}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng \({d_1}\), \({d_2}\), và \({d_3}\). Kiểm tra điều kiện vuông góc của các vectơ chỉ phương bằng tích vô hướng: nếu tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương bằng 0 thì hai đường thẳng vuông góc.
Lời giải chi tiết
Vectơ chỉ phương của \({d_1}\): \(\overrightarrow {{u_1}} = ( - 1,2,4)\)
Vectơ chỉ phương của \({d_2}\): \(\overrightarrow {{u_2}} = (2, - 1,1)\)
Vectơ chỉ phương của \({d_3}\): \(\overrightarrow {{u_3}} = (2,3, - 1)\)
Kiểm tra vuông góc:
- \({d_1}\) và \({d_2}\) vuông góc: \(\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_2}} = ( - 1) \cdot 2 + 2 \cdot ( - 1) + 4 \cdot 1 = - 2 - 2 + 4 = 0\)
Vậy \({d_1}\) vuông góc với \({d_2}\).
- \({d_1}\) và \({d_3}\) vuông góc: \(\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_3}} = ( - 1) \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 4 \cdot ( - 1) = - 2 + 6 - 4 = 0\)
Vậy \({d_1}\) vuông góc với \({d_3}\).
- \({d_2}\) và \({d_3}\) vuông góc: \(\overrightarrow {{u_2}} \cdot \overrightarrow {{u_3}} = 2 \cdot 2 + ( - 1) \cdot 3 + 1 \cdot ( - 1) = 4 - 3 - 1 = 0\)
Vậy \({d_2}\) vuông góc với \({d_3}\).
Kết luận: Ba đường thẳng \({d_1}\), \({d_2}\), \({d_3}\) đôi một vuông góc.
Bài tập 5.19 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta tìm số phức z thỏa mãn một điều kiện nhất định. Để giải bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về số phức, bao gồm:
Để giải bài tập 5.19, chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức trên. (Giả sử đề bài là: Tìm số phức z biết |z - (2 + i)| = √5 và phần thực của z bằng 1)
Để hiểu rõ hơn về cách giải bài tập về số phức, chúng ta hãy xem xét một ví dụ minh họa khác:
Ví dụ: Tìm số phức z thỏa mãn z2 = -4.
Lời giải: Đặt z = x + yi. Khi đó, z2 = (x + yi)2 = x2 + 2xyi - y2 = (x2 - y2) + 2xyi. Để z2 = -4, ta có hệ phương trình:
Từ 2xy = 0, suy ra x = 0 hoặc y = 0. Nếu x = 0, thì -y2 = -4 => y = ±2. Nếu y = 0, thì x2 = -4 (vô nghiệm vì x là số thực). Vậy z = 2i hoặc z = -2i.
Dưới đây là một số bài tập tương tự để các em luyện tập:
Bài tập 5.19 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập điển hình về số phức. Việc nắm vững các kiến thức cơ bản và phương pháp giải sẽ giúp các em tự tin giải quyết các bài tập tương tự. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.
Chúc các em học tập tốt!