Chào mừng bạn đến với giaitoan.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 10. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải quyết các bài tập trong mục 3 trang 84 sách giáo khoa Toán 10 tập 2, chương trình Chân trời sáng tạo.
Chúng tôi cam kết cung cấp nội dung chính xác, đầy đủ và giúp bạn nắm vững kiến thức Toán học một cách hiệu quả.
Trong hộp có 3 bi xanh, 4 bi đỏ và 5 bi vàng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 4 viên bi. Tính xác suất để trong 4 viên bi lấy ra:
Một hộp có 10 tấm thẻ giống nhau được đánh số lần lượt từ 1 đến 10. Chọn ngẫu nhiên cùng lúc 3 thẻ. Tính xác suất của biến cố “Tích các số ghi trên ba thẻ đó là số chẵn”.
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định không gian mẫu.
Bước 2: Xác định số kết quả thuận lợi của biến cố.
Bước 3: Tính xác xuất bằng công thức \(P\left( A \right) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}}\).
Lời giải chi tiết:
Do các tấm thẻ giống nhau, nên lấy 3 tấm từ 10 tấm không quan tâm thứ tự có \(C_{10}^3 = 120\) cách, suy ra \(n\left( \Omega \right) = 120\).
Gọi A là biến cố “Tích các số ghi trên ba thẻ đó là số chẵn”.
Để tích các số trên thẻ là số chẵn thì ít nhất có 1 thẻ là số chẵn.
Để chọn ra 3 thẻ thuận lợi cho biến cố A ta có 3 khả năng.
+) Khả năng 1: 3 thẻ chọn ra có 1 thẻ có số chẵn và 2 thẻ có số lẻ có \(5.C_5^2 = 50\) khả năng.
+) Khả năng 2: 3 thẻ chọn ra có 2 thẻ có số chẵn và 1 thẻ có số lẻ có \(C_5^2.5 = 50\) khả năng.
+) Khả năng 3: 3 thẻ chọn ra có đều là có số chắn có \(C_5^3 = 10\) khả năng.
Suy ra \(n\left( A \right) = 50 + 50 + 10 = 110\).
Vậy xác suất của biến cố A là: \(P(A) = \frac{{110}}{{120}} = \frac{{11}}{{12}}\)
Trong hộp có 3 bi xanh, 4 bi đỏ và 5 bi vàng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 4 viên bi. Tính xác suất để trong 4 viên bi lấy ra:
a) Có ít nhất 1 bi xanh
b) Có ít nhất 2 bi đỏ
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định biến cố đối của biến cố đã cho.
Bước 2: Xác định xác suất của biến cố đã xác định ở bước 1.
Bước 3: Xác định biến cố ban đầu.
Lời giải chi tiết:
Tổng số kết quả của phép thử có thể xảy ra là \(n(\Omega ) = C_{12}^4 = 495\).
a) Gọi biến cố A: “Trong 4 viên bi lấy ra có ít nhất 1 bi xanh”, suy ra biến cố đối của biến cố A là \(\overline A \): “Trong 4 viên bi lấy ra không có viên bi xanh nào”.
\(\overline A \) xảy ra khi 4 viên bi lấy ra chỉ có màu đỏ hoặc vàng. Số kết quả thuận lợi cho \(\overline A \) là: \(n(A) = C_9^4 = 126\).
Xác suất của biến cố \(\overline A \) là: \(P(\overline A ) = \frac{{n(\overline A )}}{{n(\Omega )}} = \frac{{126}}{{495}} = \frac{{14}}{{55}}\).
Vậy xác suất của biến cố A là \(P(A) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{{14}}{{55}} = \frac{{41}}{{55}}\).
b) Gọi biến cố B: “Trong 4 viên bi lấy ra có ít nhất 2 bi đỏ”, suy ra biến cố đối của biến cố B là \(\overline B \): “Trong 4 viên bi lấy ra có ít hơn 2 bi đỏ”.
\(\overline B \) xảy ra khi 4 viên bi lấy ra không có bi đỏ hoặc có 1 bi đỏ.
+ Không có bi đỏ: \(C_8^4 = 70\) kết quả.
+ Có 1 bi đỏ: \(C_4^1.C_8^3 = 224\) kết quả.
Số kết quả thuận lợi cho \(\overline B \) là: \(n(B) = 70 + 224 = 294\).
Xác suất của biến cố \(\overline B \) là: \(P(\overline B ) = \frac{{n(\overline B )}}{{n(\Omega )}} = \frac{{294}}{{495}} = \frac{98}{{165}}\).
Vậy xác suất của biến cố B là \(P(A) = 1 - P\left( {\overline B } \right) = 1 - \frac{98}{{165}} = \frac{{67}}{{165}}\).
Gieo đồng thời 3 con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của các biến cố:
a) “Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc chia hết cho 3”.
b) “Tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con súc sắc lớn hơn 4”.
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định biến cố đối của biến cố đã cho.
Bước 2: Xác định xác suất của biến cố đã xác định ở bước 1.
Bước 3: Xác định biến cố ban đầu.
Lời giải chi tiết:
a) Gọi biến cố A: “Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc không chia hết cho 3” là biến cố đối của biến cố "Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc chia hết cho 3".
Tổng số kết quả của phép thử có thể xảy ra là \(n(\Omega ) = {6^3}\).
A xảy ra khi mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc đều xuất hiện số chấm không chi hết cho 3. Số kết quả thuận lợi cho A là: \(n(A) = {4^3}\).
Xác suất của biến cố A là: \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{{4^3}}}{{{6^3}}} = \frac{8}{{27}}\).
Vậy xác suất của biến cố “Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc chia hết cho 3” là \(1 - \frac{8}{{27}} = \frac{{19}}{{27}}\).
b) Gọi biến cố B: “Tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con súc sắc nhỏ hơn hoặc bằng 4” là biến cố đối của biến cố “Tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con súc sắc lớn hơn 4”.
Tổng số kết quả của phép thử có thể xảy ra là \(n(\Omega ) = {6^3}\).
Ta có tập hợp kết quả thuận lợi cho biến cố B như sau: \(B = \left\{ {(1;1;1),(1;1;2)} \right\}\). Số kết quả thuận lợi cho B là: \(n(A) = 2\).
Xác suất của biến cố A là: \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{2}{{{6^3}}} = \frac{1}{{108}}\).
Vậy xác suất của biến cố “Tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con súc sắc lớn hơn 4” là \(1 - \frac{1}{{108}} = \frac{{107}}{{108}}\).
Một hộp có 10 tấm thẻ giống nhau được đánh số lần lượt từ 1 đến 10. Chọn ngẫu nhiên cùng lúc 3 thẻ. Tính xác suất của biến cố “Tích các số ghi trên ba thẻ đó là số chẵn”.
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định không gian mẫu.
Bước 2: Xác định số kết quả thuận lợi của biến cố.
Bước 3: Tính xác xuất bằng công thức \(P\left( A \right) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}}\).
Lời giải chi tiết:
Do các tấm thẻ giống nhau, nên lấy 3 tấm từ 10 tấm không quan tâm thứ tự có \(C_{10}^3 = 120\) cách, suy ra \(n\left( \Omega \right) = 120\).
Gọi A là biến cố “Tích các số ghi trên ba thẻ đó là số chẵn”.
Để tích các số trên thẻ là số chẵn thì ít nhất có 1 thẻ là số chẵn.
Để chọn ra 3 thẻ thuận lợi cho biến cố A ta có 3 khả năng.
+) Khả năng 1: 3 thẻ chọn ra có 1 thẻ có số chẵn và 2 thẻ có số lẻ có \(5.C_5^2 = 50\) khả năng.
+) Khả năng 2: 3 thẻ chọn ra có 2 thẻ có số chẵn và 1 thẻ có số lẻ có \(C_5^2.5 = 50\) khả năng.
+) Khả năng 3: 3 thẻ chọn ra có đều là có số chắn có \(C_5^3 = 10\) khả năng.
Suy ra \(n\left( A \right) = 50 + 50 + 10 = 110\).
Vậy xác suất của biến cố A là: \(P(A) = \frac{{110}}{{120}} = \frac{{11}}{{12}}\)
Gieo đồng thời 3 con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của các biến cố:
a) “Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc chia hết cho 3”.
b) “Tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con súc sắc lớn hơn 4”.
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định biến cố đối của biến cố đã cho.
Bước 2: Xác định xác suất của biến cố đã xác định ở bước 1.
Bước 3: Xác định biến cố ban đầu.
Lời giải chi tiết:
a) Gọi biến cố A: “Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc không chia hết cho 3” là biến cố đối của biến cố "Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc chia hết cho 3".
Tổng số kết quả của phép thử có thể xảy ra là \(n(\Omega ) = {6^3}\).
A xảy ra khi mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc đều xuất hiện số chấm không chi hết cho 3. Số kết quả thuận lợi cho A là: \(n(A) = {4^3}\).
Xác suất của biến cố A là: \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{{4^3}}}{{{6^3}}} = \frac{8}{{27}}\).
Vậy xác suất của biến cố “Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc chia hết cho 3” là \(1 - \frac{8}{{27}} = \frac{{19}}{{27}}\).
b) Gọi biến cố B: “Tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con súc sắc nhỏ hơn hoặc bằng 4” là biến cố đối của biến cố “Tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con súc sắc lớn hơn 4”.
Tổng số kết quả của phép thử có thể xảy ra là \(n(\Omega ) = {6^3}\).
Ta có tập hợp kết quả thuận lợi cho biến cố B như sau: \(B = \left\{ {(1;1;1),(1;1;2)} \right\}\). Số kết quả thuận lợi cho B là: \(n(A) = 2\).
Xác suất của biến cố A là: \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{2}{{{6^3}}} = \frac{1}{{108}}\).
Vậy xác suất của biến cố “Tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con súc sắc lớn hơn 4” là \(1 - \frac{1}{{108}} = \frac{{107}}{{108}}\).
Trong hộp có 3 bi xanh, 4 bi đỏ và 5 bi vàng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 4 viên bi. Tính xác suất để trong 4 viên bi lấy ra:
a) Có ít nhất 1 bi xanh
b) Có ít nhất 2 bi đỏ
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định biến cố đối của biến cố đã cho.
Bước 2: Xác định xác suất của biến cố đã xác định ở bước 1.
Bước 3: Xác định biến cố ban đầu.
Lời giải chi tiết:
Tổng số kết quả của phép thử có thể xảy ra là \(n(\Omega ) = C_{12}^4 = 495\).
a) Gọi biến cố A: “Trong 4 viên bi lấy ra có ít nhất 1 bi xanh”, suy ra biến cố đối của biến cố A là \(\overline A \): “Trong 4 viên bi lấy ra không có viên bi xanh nào”.
\(\overline A \) xảy ra khi 4 viên bi lấy ra chỉ có màu đỏ hoặc vàng. Số kết quả thuận lợi cho \(\overline A \) là: \(n(A) = C_9^4 = 126\).
Xác suất của biến cố \(\overline A \) là: \(P(\overline A ) = \frac{{n(\overline A )}}{{n(\Omega )}} = \frac{{126}}{{495}} = \frac{{14}}{{55}}\).
Vậy xác suất của biến cố A là \(P(A) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{{14}}{{55}} = \frac{{41}}{{55}}\).
b) Gọi biến cố B: “Trong 4 viên bi lấy ra có ít nhất 2 bi đỏ”, suy ra biến cố đối của biến cố B là \(\overline B \): “Trong 4 viên bi lấy ra có ít hơn 2 bi đỏ”.
\(\overline B \) xảy ra khi 4 viên bi lấy ra không có bi đỏ hoặc có 1 bi đỏ.
+ Không có bi đỏ: \(C_8^4 = 70\) kết quả.
+ Có 1 bi đỏ: \(C_4^1.C_8^3 = 224\) kết quả.
Số kết quả thuận lợi cho \(\overline B \) là: \(n(B) = 70 + 224 = 294\).
Xác suất của biến cố \(\overline B \) là: \(P(\overline B ) = \frac{{n(\overline B )}}{{n(\Omega )}} = \frac{{294}}{{495}} = \frac{98}{{165}}\).
Vậy xác suất của biến cố B là \(P(A) = 1 - P\left( {\overline B } \right) = 1 - \frac{98}{{165}} = \frac{{67}}{{165}}\).
Mục 3 trang 84 SGK Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo thường tập trung vào các ứng dụng thực tế của vectơ trong hình học, đặc biệt là trong việc chứng minh các tính chất liên quan đến hình bình hành, hình thang và các hình đa giác khác. Việc nắm vững kiến thức về vectơ và các phép toán vectơ là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài tập trong mục này.
Lời giải:
Lời giải:
Ta có: \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}. Vì M là trung điểm của BC nên \overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}. Mà \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} (do ABCD là hình bình hành). Do đó, \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}. Lại có \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}. Thay vào biểu thức trên, ta được: \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}).
Lời giải:
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên G là giao điểm của các đường trung tuyến. Do đó, \overrightarrow{GA} = -2\overrightarrow{GM}, \overrightarrow{GB} = -2\overrightarrow{GN}, \overrightarrow{GC} = -2\overrightarrow{GP}, với M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB. Ta có: \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = -2(\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN} + \overrightarrow{GP}). Mà \overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN} + \overrightarrow{GP} = \overrightarrow{0} (tính chất của trọng tâm). Do đó, \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}.
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, bạn đã có thể giải quyết thành công các bài tập trong mục 3 trang 84 SGK Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán vectơ.
