Định lí cosin và định lí sin là những công cụ quan trọng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác. Nắm vững hai định lí này giúp bạn dễ dàng tính toán các yếu tố của tam giác khi biết một số thông tin nhất định.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lý thuyết đầy đủ, dễ hiểu cùng với các bài tập minh họa giúp bạn nắm vững kiến thức một cách nhanh chóng và hiệu quả.
1. Định lí cosin 2. Định lí sin
1. Định lí cosin
Trong tam giác ABC:
\(\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\\{b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\cos B\\{c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C\end{array}\)
Hệ quả
\(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}};\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)
2. Định lí sin
Trong tam giác ABC: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R.\)
(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
Hệ quả
\(a = 2R.\sin A;\quad b = 2R\sin B;\quad c = 2R\sin C\)
\(\sin A = \frac{a}{{2R}};\quad \sin B = \frac{b}{{2R}};\quad \sin C = \frac{c}{{2R}}.\)
3. Các công thức tính diện tích tam giác
1) \(S = \frac{1}{2}a{h_a} = \frac{1}{2}b{h_b} = \frac{1}{2}c{h_c}\)
2) \(S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ca\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C\)
3) \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\)
4) \(S = pr = \frac{{(a + b + c).r}}{2}\)
5) \(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \) (Công thức Heron)
Trong hình học, đặc biệt là trong việc nghiên cứu về tam giác, Định lý Cosin và Định lý Sin đóng vai trò then chốt. Chúng cho phép chúng ta thiết lập mối quan hệ giữa các cạnh và góc của một tam giác bất kỳ, từ đó giải quyết nhiều bài toán thực tế.
Định lý Cosin, còn được gọi là công thức cosin, phát biểu rằng trong một tam giác bất kỳ với các cạnh a, b, c và góc đối diện tương ứng là A, B, C, ta có:
Ý nghĩa: Định lý Cosin được sử dụng để tính độ dài một cạnh của tam giác khi biết độ dài hai cạnh còn lại và góc xen giữa chúng. Hoặc, nó cũng có thể được dùng để tính góc của tam giác khi biết độ dài ba cạnh.
Định lý Sin, hay còn gọi là công thức sin, phát biểu rằng trong một tam giác bất kỳ với các cạnh a, b, c và góc đối diện tương ứng là A, B, C, ta có:
Ý nghĩa: Định lý Sin được sử dụng để tính độ dài một cạnh của tam giác khi biết độ dài một cạnh và các góc đối diện. Hoặc, nó cũng có thể được dùng để tính góc của tam giác khi biết độ dài các cạnh và một góc.
Hai định lý này có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, bao gồm:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 7cm và góc A = 60o. Tính độ dài cạnh BC.
Giải: Sử dụng định lý Cosin, ta có:
BC2 = AB2 + AC2 - 2.AB.AC.cosA
BC2 = 52 + 72 - 2.5.7.cos60o
BC2 = 25 + 49 - 70.0.5 = 54
BC = √54 ≈ 7.35cm
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có BC = 8cm, góc B = 45o và góc C = 60o. Tính độ dài cạnh AB.
Giải: Sử dụng định lý Sin, ta có:
AB/sinC = BC/sinA
Trước tiên, tính góc A: A = 180o - B - C = 180o - 45o - 60o = 75o
AB/sin60o = 8/sin75o
AB = (8.sin60o)/sin75o ≈ 6.89cm
Để củng cố kiến thức về Định lý Cosin và Định lý Sin, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:
Hy vọng rằng với những kiến thức và ví dụ minh họa trên, bạn đã hiểu rõ hơn về Lý thuyết Định lý Cosin và Định lý Sin. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và áp dụng chúng vào giải quyết các bài toán thực tế.
