Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm, một phần quan trọng trong chương trình Toán 10 CTST. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức cơ bản và nâng cao về các khái niệm như trung bình cộng, trung vị, mốt, phương sai và độ lệch chuẩn.
Hiểu rõ các số đặc trưng này giúp bạn phân tích và đánh giá dữ liệu một cách hiệu quả, đồng thời áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.
Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu
1. SỐ TRUNG BÌNH VÀ TRUNG VỊ
Cho mẫu số liệu \({x_1},{x_2},{x_3},...,{x_n}\).
+) Số trung bình (hay TB cộng) của mẫu số liệu kí hiệu là \(\overline x \), được tính bằng công thức: \(\overline x = \frac{{{x_1} + {x_2} + {x_3} + ... + {x_n}}}{n}\).
+) Mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số thì:
\(\overline x = \frac{{{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + {n_3}{x_3} + ... + {n_k}{x_k}}}{n}\)
Với \({n_i}\) là tần số của giá trị \({x_i}\) và \(n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_k}\).
+) Ý nghĩa: Số trung bình dùng để đại diện cho các số liệu của mẫu. Nó là một số đo xu thế trung tâm của mẫu đó.
2. TRUNG VỊ VÀ TỨ PHÂN VỊ
a. Trung vị
+) Trong trường hợp mẫu số liệu có giá trị bất thường (rất lớn hoặc rất bé so với đa số các giá trị khác), ta dùng trung vị để đo xu thế trung tâm.
Ví dụ: mẫu số liệu: 1 3 2 3 4 20
+) Tìm trung vị \({M_e}\):
Bước 1: Sắp xếp các giá trị theo thứ tự không giảm \({X_1},{X_2},..,{X_n}\).
Bước 2: Cỡ mẫu = n.
+ Nếu n lẻ (\(n = 2k - 1\)) thì \({M_e} = {X_k}\).
+ Nếu n chẵn (\(n = 2k\)) thì \({M_e} = \frac{1}{2}({X_k} + {X_{k + 1}})\).
+) Ý nghĩa: Trung vị là giá trị ở vị trí chính giữa của mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự không giảm. Trung vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường như số trung bình.
b. Tứ phân vị
Tứ phân vị gồm 3 giá trị \({Q_1},{Q_2},{Q_3}\), nó chia mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn thành 4 phần, mỗi phần đều chứa 25% giá trị.
+) Các bước tìm tứ phân vị:
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.
Bước 2: Tìm trung vị, chính là \({Q_2}\).
Bước 3: \({Q_1}\) là trung vị của nửa số liệu bên trái \({Q_2}\) (không bao gồm \({Q_2}\) nếu n lẻ).
Bước 4: \({Q_3}\)là trung vị của nửa số liệu bên phải \({Q_2}\) (không bao gồm \({Q_2}\) nếu n lẻ).
+) Chú ý:
\({Q_1}\) còn được gọi là tứ phân vị thứ nhất hoặc tứ phân vị dưới, đại diện cho nửa mẫu số liệu phía dưới.
\({Q_3}\) còn được gọi là tứ phân vị thứ ba hoặc tứ phân vị trên, đại diện cho nửa mẫu số liệu phía trên.
3. MỐT
+) Mốt của mẫu số liệu là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu.
+) Ý nghĩa: Dùng mốt để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu khi mẫu có nhiều giá trị trùng nhau.
+) Nhận xét
- Mốt có thể không là duy nhất. Một mẫu có thể có nhiều mốt
- Khi các giá trị trong mẫu xuất hiện với tần số như nhau thì mẫu số liệu đó không có mốt.
Trong thống kê, các số đặc trưng đo xu thế trung tâm là những giá trị đại diện cho vị trí trung tâm của một tập dữ liệu. Chúng giúp chúng ta tóm tắt và mô tả dữ liệu một cách hiệu quả. Dưới đây là các số đặc trưng chính:
Trung bình cộng là tổng của tất cả các giá trị trong một tập dữ liệu chia cho số lượng giá trị đó. Ký hiệu: x̄
Công thức: x̄ = (x1 + x2 + ... + xn) / n, trong đó:
Ví dụ: Cho tập dữ liệu: 2, 4, 6, 8, 10. Trung bình cộng là (2 + 4 + 6 + 8 + 10) / 5 = 6
Trung vị là giá trị nằm ở giữa tập dữ liệu khi được sắp xếp theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần.
Cách tìm trung vị:
Ví dụ:
Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong một tập dữ liệu.
Một tập dữ liệu có thể có một mốt (unimodal), nhiều mốt (multimodal) hoặc không có mốt nào.
Ví dụ:
Phương sai đo lường mức độ phân tán của các giá trị trong một tập dữ liệu so với trung bình cộng.
Công thức:
s2 = Σ(xi - x̄)2 / (n - 1), trong đó:
Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai. Nó cũng đo lường mức độ phân tán của các giá trị trong một tập dữ liệu so với trung bình cộng, nhưng được biểu diễn bằng cùng đơn vị với dữ liệu gốc.
Công thức: s = √s2
Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, bao gồm:
Để hiểu rõ hơn về lý thuyết này, bạn có thể thực hành giải các bài tập trong SGK Toán 10 CTST và các tài liệu tham khảo khác. Hãy chú trọng vào việc xác định đúng công thức và áp dụng chúng một cách linh hoạt.
Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về Lý thuyết Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm. Chúc bạn học tập tốt!
