Chào mừng bạn đến với giaitoan.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho bài tập 8 trang 10 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán, tự tin hơn trong quá trình học tập.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải toán đôi khi có thể gặp khó khăn. Vì vậy, chúng tôi đã biên soạn lời giải bài tập một cách cẩn thận, kèm theo các bước giải chi tiết và dễ theo dõi.
Xác định giá trị của các hệ số a, b, c và xét dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) trong mỗi trường hợp sau: a) Đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua ba điểm có tọa độ là \(\left( { - 1; - 4} \right),\left( {0;3} \right)\) và \(\left( {1; - 14} \right)\)
Đề bài
Xác định giá trị của các hệ số a, b, c và xét dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) trong mỗi trường hợp sau:
a) Đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua ba điểm có tọa độ là \(\left( { - 1; - 4} \right),\left( {0;3} \right)\) và \(\left( {1; - 14} \right)\)
b) Đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua ba điểm có tọa độ là \(\left( {0; - 2} \right),\left( {2;6} \right)\) và \(\left( {3;13} \right)\)
c) \(f\left( { - 5} \right) = 33,f\left( 0 \right) = 3\) và \(f\left( 2 \right) = 19\)
Lời giải chi tiết
a) Giả sử tam thức bậc hai có công thức tổng quát là \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\)
Vì đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua ba điểm có tọa độ là \(\left( { - 1; - 4} \right),\left( {0;3} \right)\) và \(\left( {1; - 14} \right)\) nên thay tọa độ của ba điểm vào phương trình tổng quát ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l} - 4 = a{\left( { - 1} \right)^2} + b\left( { - 1} \right) + c\\3 = a{.0^2} + b.0 + c\\ - 14 = a{\left( 1 \right)^2} + b\left( 1 \right) + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b + c = - 4\\c = 3\\a + b + c = - 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 12\\b = - 5\\c = 3\end{array} \right.\)
Từ a, b, c đã xác định được ta có \(\Delta = 169 > 0\), tam thức có hai nghiệm phân biệt \(x = - \frac{3}{4}\) và \(x = \frac{1}{3}\), trong đó \(a = - 12 < 0\)
Ta có bảng biến thiên sau đây
Vậy tam thức đã cho có dạng là \(f\left( x \right) = - 12{x^2} - 5x + 3\) dương trên khoảng \(\left( { - \frac{3}{4};\frac{1}{3}} \right)\), âm trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{3}{4}} \right)\) và \(\left( {\frac{1}{3}; + \infty } \right)\)
b) Giả sử tam thức bậc hai có công thức tổng quát là \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\)
Vì đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua ba điểm có tọa độ là \(\left( {0; - 2} \right),\left( {2;6} \right)\) và \(\left( {3;13} \right)\)
nên thay tọa độ của ba điểm vào phương trình tổng quát ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l} - 2 = a{.0^2} + b.0 + c\\6 = a{.2^2} + b.2 + c\\13 = a{.3^2} + b.3 + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = - 2\\4a + 2b + c = 6\\9a + 3b + c = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = - 2\end{array} \right.\)
Từ a, b, c đã xác định được ta có \(\Delta = 12 > 0\), tam thức có hai nghiệm phân biệt \(x = - 1 - \sqrt 3 \) và \(x = - 1 + \sqrt 3 \), trong đó \(a = 1 > 0\)
Ta có bảng biến thiên sau đây
Vậy tam thức đã cho có dạng là \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 2\) âm trên khoảng \(\left( { - 1 - \sqrt 3 ; - 1 + \sqrt 3 } \right)\), dương trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1 - \sqrt 3 } \right)\) và \(\left( { - 1 + \sqrt 3 ; + \infty } \right)\)
c) Giả sử tam thức bậc hai có công thức tổng quát là \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\)
Vì \(f\left( { - 5} \right) = 33\) nên \(a.{( - 5)^2} + b.( - 5) + c = 33\)
Vì \(f\left( 0 \right) = 3\) nên \(a{.0^2} + b.0 + c = 3\)
Vì \(f\left( 2 \right) = 19\) nên \(a{.2^2} + b.2 + c = 19\)
Từ đó ta có hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}a.{( - 5)^2} + b.( - 5) + c = 33\\a{.0^2} + b.0 + c = 3\\a{.2^2} + b.2 + c = 19\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}25a - 5b + c = 33\\c = 3\\4a + 2b + c = 19\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}25a - 5b = 30\\4a + 2b = 16\\c = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 4\\c = 3\end{array} \right.\)
Vậy \(f(x) = 2{x^2} + 4x + 3\), có \(\Delta ' = {2^2} - 2.3 = - 2 < 0\) và \(a = 2 > 0\)nên \(f(x) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Bài 8 trang 10 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học Toán 10, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về tập hợp, các phép toán trên tập hợp, và các tính chất cơ bản của tập hợp số. Bài tập này thường yêu cầu học sinh xác định các tập hợp, thực hiện các phép hợp, giao, hiệu, bù của các tập hợp, và chứng minh các đẳng thức liên quan đến tập hợp.
Bài 8 thường bao gồm một số câu hỏi nhỏ, mỗi câu hỏi yêu cầu học sinh thực hiện một thao tác cụ thể với các tập hợp cho trước. Dưới đây là phân tích chi tiết các dạng bài tập thường gặp:
Trong dạng bài này, học sinh cần xác định các phần tử thuộc một tập hợp dựa trên các điều kiện cho trước. Ví dụ:
Học sinh cần thực hiện các phép hợp, giao, hiệu, bù của các tập hợp. Ví dụ:
Học sinh cần chứng minh các đẳng thức như A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A, A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Để giải bài tập về tập hợp hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
Ví dụ 1: Cho tập hợp A = {1, 2, 3} và B = {2, 4, 5}. Hãy tìm A ∪ B.
Giải: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}.
Ví dụ 2: Cho tập hợp A = {a, b, c} và B = {b, c, d}. Hãy tìm A ∩ B.
Giải: A ∩ B = {b, c}.
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về tập hợp, bạn có thể luyện tập thêm với các bài tập sau:
Bài 8 trang 10 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh nắm vững kiến thức về tập hợp và các phép toán trên tập hợp. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và phương pháp giải hiệu quả mà chúng tôi đã cung cấp, bạn sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập và giải bài tập.
