Chào mừng bạn đến với giaitoan.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và chính xác cho bài tập 72 trang 107 sách bài tập Toán 10 - Cánh diều. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chất lượng, dễ hiểu, giúp các em học sinh học tập hiệu quả và đạt kết quả tốt nhất trong môn Toán.
Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 6, \(\widehat {BAC}\) = 60°. Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):
Đề bài
Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 6, \(\widehat {BAC}\) = 60°. Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):
a) Độ dài cạnh BC và độ lớn góc B
b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp R
c) Diện tích của tam giác ABC
d) Độ dài đường cao xuất phát tử A
e) \(\overrightarrow {AB.} \overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC} \) với M là trung điểm của BC
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1: Sử dụng định lí cosin để tính độ dài BC và góc B của ∆ABC
Bước 2: Sử dụng định lí sin để tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R của ∆ABC
Bước 3: Sử dụng công thức \(S = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A\) để tính diện tích của tam giác ABC
Bước 4: Sử dụng giá trị lượng giác của góc nhọn để tính độ dài đường cao AH
Bước 5: Sử dụng định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ và tính chất trung điểm của đoạn thẳng để tính \(\overrightarrow {AB.} \overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC} \)
Lời giải chi tiết
a) Áp dụng định lí cosin cho ∆ABC ta có:
+ \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos A\)\( = {4^2} + {6^2} - 2.4.6.\cos {60^0} = 28\) \( \Rightarrow BC = 2\sqrt 7 \)
+ \(\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2.AB.BC}} \Rightarrow \widehat B \approx {79^0}\)
b) Áp dụng định lí sin cho ∆ABC ta có: \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{5}{{2.\sin {{60}^0}}} \approx 3\)
c) Diện tích tam giác ABC là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A = \frac{1}{2}.4.6.\sin {60^0} \approx 10\)
d) Gọi AH là một đường cao của tam giác ABC
Ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC \Rightarrow AH = \frac{{2{S_{ABC}}}}{{BC}} \approx 4\)
e) Ta có:
+\(\overrightarrow {AB.} \overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos \widehat {BAC} = 4.6.\cos {60^0} = 12\)
+ Do M là trung điểm BC nên \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\)
\(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {AC} ^2} = \frac{1}{2}.12 + \frac{1}{2}{.6^2} = 24\)
Bài 72 trang 107 SBT Toán 10 - Cánh Diều thuộc chương trình học Toán 10, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ, và ứng dụng của vectơ trong hình học. Bài tập này thường yêu cầu học sinh phải hiểu rõ định nghĩa, tính chất của vectơ, cũng như các quy tắc cộng, trừ, nhân vectơ với một số thực.
Bài 72 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về cách giải bài tập này, chúng ta sẽ đi vào phân tích chi tiết từng dạng bài tập và cung cấp lời giải cụ thể.
Ví dụ: Cho hai vectơ a = (1; 2) và b = (-3; 4). Tính a + b và 2a.
Lời giải:
Ví dụ: Chứng minh rằng AB + CD = AC + DB với A, B, C, D là bốn điểm bất kỳ.
Lời giải:
Sử dụng quy tắc cộng vectơ, ta có:
AB + CD = (B - A) + (D - C) = B - A + D - C
AC + DB = (C - A) + (B - D) = C - A + B - D
Do đó, AB + CD = AC + DB.
Ví dụ: Cho ba điểm A(1; 2), B(3; 4), C(5; 6). Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Lời giải:
Ta có AB = (3 - 1; 4 - 2) = (2; 2) và AC = (5 - 1; 6 - 2) = (4; 4).
Vì AC = 2AB, nên vectơ AC cùng phương với vectơ AB. Hơn nữa, ba điểm A, B, C cùng nằm trên đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương là AB. Vậy ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM = (1/2)AC + (1/2)AB.
Lời giải:
Ta có AM = AB + BM. Vì M là trung điểm của BC, nên BM = (1/2)BC. Mà BC = AC - AB (quy tắc hình bình hành). Do đó, BM = (1/2)(AC - AB).
Vậy AM = AB + (1/2)(AC - AB) = AB + (1/2)AC - (1/2)AB = (1/2)AC + (1/2)AB.
Bài 72 trang 107 SBT Toán 10 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về vectơ và ứng dụng của vectơ trong hình học. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải được trình bày trong bài viết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập tương tự.
