Bài 32 trang 74 SBT Toán 10 Cánh Diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 10. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ và ứng dụng của vectơ trong hình học để giải quyết các bài toán cụ thể.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 32 trang 74 SBT Toán 10 Cánh Diều, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Cho ba điểm A(-2 ; 2), B(7 ; 5), C(4 ; – 5) và đường thẳng ∆: 2x + y – 4 = 0
Đề bài
Cho ba điểm A(-2 ; 2), B(7 ; 5), C(4 ; – 5) và đường thẳng ∆: 2x + y – 4 = 0
a) Tìm toạ độ điểm M thuộc ∆ và cách đều hai điểm A và B
b*) Tìm toạ độ điểm N thuộc ∆ sao cho |\(\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} \)| có giá trị nhỏ nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1: Tham số hóa điểm M và N theo PT tổng quát ∆
Bước 2: Sử dụng công thức khoảng cách để lập PT AM = BM
Bước 3: Giải PT để tìm tọa độ điểm M
Bước 4: Tìm tọa độ điểm I thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)
Bước 5: Biến đổi và tìm GTNN của biểu thức |\(\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} \)| để tìm điểm N thỏa mãn giả thiết
Lời giải chi tiết
a) Gọi \(M(t;4 - 2t) \in \Delta \)
Ta có: \(\overrightarrow {AM} = (t + 2; - 2t + 2)\), \(\overrightarrow {BM} = (t - 7; - 2t - 1)\)
Theo giả thiết, M cách đều hai điểm A và B \( \Rightarrow AM = BM \Leftrightarrow A{M^2} = B{M^2}\)
\( \Leftrightarrow {(t + 2)^2} + {( - 2t + 2)^2} = {(t - 7)^2} + {( - 2t - 1)^2}\)
\( \Leftrightarrow - 4t + 8 = - 10t + 50 \Leftrightarrow 6t = 42 \Leftrightarrow t = 7\)
Vậy M(7 ; -10)
b*) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (9;3),\overrightarrow {AC} = (6; - 7)\)
Vì \(\frac{9}{6} \ne \frac{3}{{ - 7}}\) nên \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương \( \Rightarrow A,B,C\) không thẳng hàng
Gọi G là trọng tâm ∆ABC \( \Rightarrow G\left( {3;\frac{2}{3}} \right)\) và \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)
Xét \(\left| {\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} } \right| = \left| {\overrightarrow {NG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {NG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {NG} + \overrightarrow {GC} } \right|\)\( = \left| {3\overrightarrow {NG} } \right| = 3NG\)
\(\left| {\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} } \right|\) nhỏ nhất khi và chỉ khi NG nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \) N là hình chiếu của G trên ∆
Gọi d là đường thẳng đi qua G, vuông góc với ∆
∆ có VTPT \(\overrightarrow n = (2;1)\) \( \Rightarrow \) ∆ có một VTCP là \(\overrightarrow u = (1; - 2)\)
Do \(d \bot \Delta \) nên d nhận \(\overrightarrow u = (1; - 2)\)làm VTPT \( \Rightarrow \) d có PT: 3x – 6y – 5 = 0
N là giao điểm của d và ∆ \( \Rightarrow \) tọa độ điểm N là nghiệm của hệ PT: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\3x - 6y - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{29}}{{15}}\\y = \frac{2}{{15}}\end{array} \right.\)
Vậy \(N\left( {\frac{{29}}{{15}};\frac{2}{{15}}} \right)\)
Bài 32 trang 74 SBT Toán 10 Cánh Diều thuộc chương trình học về vectơ trong không gian. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, bao gồm:
Bài 32 thường yêu cầu học sinh áp dụng các kiến thức này để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học, ví dụ như chứng minh các đẳng thức vectơ, tìm tọa độ của các điểm, hoặc tính góc giữa các đường thẳng.
Để cung cấp lời giải chi tiết, chúng ta cần xem xét nội dung cụ thể của bài toán. Tuy nhiên, dựa trên cấu trúc chung của SBT Toán 10 Cánh Diều, bài 32 thường có dạng như sau:
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng AM và BD cắt nhau tại một điểm I, và AI = 2IM.
Lời giải:
Lưu ý rằng đây chỉ là một ví dụ minh họa. Lời giải cụ thể sẽ phụ thuộc vào nội dung của bài toán gốc.
Ngoài bài 32, SBT Toán 10 Cánh Diều còn có nhiều bài tập tương tự liên quan đến vectơ. Một số dạng bài tập phổ biến bao gồm:
Để giải quyết các bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần:
Ngoài sách giáo khoa và SBT Toán 10 Cánh Diều, học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để hỗ trợ học tập:
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các hướng dẫn trên, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài 32 trang 74 SBT Toán 10 Cánh Diều và có thể tự tin giải quyết các bài tập tương tự.
