Chào mừng bạn đến với bài học lý thuyết Phân thức đại số thuộc chương trình Toán 8, sách Cánh diều. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng nhất về phân thức đại số, giúp bạn tự tin giải các bài tập liên quan.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu định nghĩa, các tính chất, và các phép toán trên phân thức đại số một cách chi tiết và dễ hiểu nhất. Hãy bắt đầu ngay thôi!
Phân thức đại số là gì?
1. Khái niệm
Một phân thức đại số (hay còn gọi là phân thức) là một biểu thức có dạng \(\frac{P}{Q}\), trong đó P, Q là những đa thức và Q khác đa thức 0.
P được gọi là tử thức (hay tử), Q được gọi là mẫu thức (hay mẫu).
Chú ý: Mỗi đa thức được coi là một phân thức với mẫu thức bằng 1. Đặc biệt, mỗi số thực cũng là một phân thức đại số.
Ví dụ: \(\frac{{2x + 1}}{{x - 3}};\frac{{ab}}{{a + b}};{x^2} + 3x + 2;\sqrt 2 \) là các phân thức đại số.
\(\sqrt x ;\sqrt[3]{x}\) không phải là phân thức vì \(\sqrt x ;\sqrt[3]{x}\) không phải là đa thức.
Hai phân thức bằng nhau
Ta nói hai phân thức \(\frac{A}{B}\) và \(\frac{C}{D}\) bằng nhau nếu A.D = B.C. Khi đó, ta viết
\(\frac{A}{B} = \frac{C}{D}\).
Ví dụ: Hai phân thức \(\frac{{x{y^2}}}{{xy + y}}\) và \(\frac{{xy}}{{x + 1}}\) bằng nhau.
2. Tính chất
Khi nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.
\(\frac{A}{B} = \frac{{A.C}}{{B.C}}\) (C là một đa thức khác đa thức không).
Khi chia cả tử và mẫu của một phân thức cho cùng một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.
\(\frac{A}{B} = \frac{{A:D}}{{B:D}}\) (D là một đa thức nhân tử chung).
Ví dụ: Để biến đổi phân thức \(\frac{{x - y}}{{{y^2} - {x^2}}}\) thành \(\frac{{ - 1}}{{x + y}}\), ta chia cả tử và mẫu của phân thức \(\frac{{x - y}}{{{y^2} - {x^2}}}\) cho y – x, khi đó \(\frac{{x - y}}{{{y^2} - {x^2}}} = \frac{{ - (y - x)}}{{(y - x)(y + x)}} = \frac{{ - 1}}{{x + y}}\)
3. Rút gọn phân thức
Muốn rút gọn một phân thức, ta có thể làm như sau:
Bước 1. Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần)
Bước 2. Tìm nhân tử chung của tử và mẫu rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.
Ví dụ: \(\frac{{x - y}}{{{y^2} - {x^2}}} = \frac{{ - (y - x)}}{{(y - x)(y + x)}} = \frac{{ - 1}}{{x + y}}\)
4. Quy đồng mẫu thức của nhiều phân thức
Mẫu thức chung (MTC) chia hết cho mẫu thức của mỗi phân thức đã cho.
Tìm mẫu thức chung:
Bước 1. Phân tích mẫu của mỗi phân thức đã cho thành nhân tử (nếu cần)
Bước 2. Chọn mẫu thức chung.
Quy đồng mẫu thức hai hay nhiều phân thức:
Bước 1. Phân tích mẫu của mỗi phân thức thành nhân tử rồi tìm MTC
Bước 2. Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức (bằng cách chia MTC cho từng mẫu
Bước 3. Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức đã cho với nhân tử phụ tương ứng
Ví dụ: Quy đồng mẫu thức hai phân thức \(\frac{1}{{{x^2} + x}}\) và \(\frac{1}{{{x^2} - x}}\)
MTC là:
Ta có: \(\left[ {x\left( {x + 1} \right)\left( {x-1} \right)} \right]:\left[ {x(x + 1)} \right] = x - 1;\,\,\left[ {x\left( {x + 1} \right)\left( {x-1} \right)} \right]:\left[ {x(x - 1)} \right] = x + 1\)
Khi đó: \(\frac{1}{{{x^2} + x}} = \frac{1}{{x(x + 1)}} = \frac{{x - 1}}{{x(x + 1)(x - 1)}};\,\,\frac{1}{{{x^2} - x}} = \frac{1}{{x(x - 1)}} = \frac{{x + 1}}{{x(x - 1)(x + 1)}}\)
5. Điều kiện xác định, giá trị của phân thức đại số
Xác định điều kiện xác định của phân thức \(\frac{A}{B}\)
Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{A}{B}\) là điều kiện của biến để mẫu thức B khác 0.
Giá trị của phân thức đại số
Cho phân thức đại số \(\frac{A}{B}\). Giá trị của biểu thức \(\frac{A}{B}\) tại những giá trị cho trước của các biến để giá trị của mẫu thức khác 0 được gọi là giá trị của phân thức \(\frac{A}{B}\) tại những giá trị cho trước của biến đó.
Ví dụ: Phân thức P = \(\frac{{x + 3}}{{x - 1}}\) xác định khi \(x - 1 \ne 0\)hay \(x \ne 1\)
Tại x = 3, \(P = \frac{{3 + 3}}{{3 - 1}} = \frac{6}{2} = 3\)
Phân thức đại số là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán 8, là nền tảng cho các kiến thức nâng cao hơn ở các lớp trên. Hiểu rõ lý thuyết về phân thức đại số sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và chính xác.
Một phân thức đại số là biểu thức có dạng P/Q, trong đó P và Q là các đa thức, và Q khác 0. P được gọi là tử số, Q được gọi là mẫu số.
Ví dụ:
Một phân thức đại số chỉ xác định khi mẫu số khác 0. Điều này có nghĩa là chúng ta cần tìm các giá trị của biến sao cho mẫu số không bằng 0.
Ví dụ:
Phân thức x + 1 / x - 2 xác định khi x - 2 ≠ 0, tức là x ≠ 2.
Tính chất cơ bản của phân thức đại số tương tự như tính chất cơ bản của phân số:
Ví dụ:
x + 1 / x - 2 = (x + 1) * (x + 1) / (x - 2) * (x + 1) = (x + 1)2 / (x - 2)(x + 1)
Có bốn phép toán cơ bản trên phân thức đại số: cộng, trừ, nhân, chia.
Để cộng hoặc trừ hai phân thức đại số, chúng ta cần quy đồng mẫu số. Sau khi quy đồng, ta cộng hoặc trừ các tử số và giữ nguyên mẫu số chung.
Ví dụ:
1 / x + 1 / y = y / xy + x / xy = (x + y) / xy
Để nhân hai phân thức đại số, ta nhân các tử số với nhau và nhân các mẫu số với nhau.
Ví dụ:
(x + 1) / (x - 2) * (x - 3) / (x + 4) = (x + 1)(x - 3) / (x - 2)(x + 4)
Để chia hai phân thức đại số, ta đổi dấu phân thức thứ hai và nhân hai phân thức với nhau.
Ví dụ:
(x + 1) / (x - 2) : (x - 3) / (x + 4) = (x + 1) / (x - 2) * (x + 4) / (x - 3) = (x + 1)(x + 4) / (x - 2)(x - 3)
Để củng cố kiến thức về phân thức đại số, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:
Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về lý thuyết Phân thức đại số SGK Toán 8 - Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt!
