Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 1 trang 34 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1. Bài viết này sẽ cung cấp cho các em phương pháp giải bài tập hiệu quả, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Giaitoan.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán. Hãy cùng chúng tôi khám phá lời giải bài tập này ngay bây giờ!
Cho \(\sin \alpha = \frac{3}{4}\) với \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Tính giá trị của các biểu thức sau: a) \(\sin 2\alpha \); b) \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right)\);
Đề bài
Cho \(\sin \alpha = \frac{3}{4}\) với \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) \(\sin 2\alpha \);
b) \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right)\);
c) \[\tan \left( {2\alpha - \frac{\pi }{4}} \right)\].
Cho \(\sin \alpha = \frac{3}{4}\) với \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) \(\sin 2\alpha \);
b) \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right)\);
c) \(\tan \left( {2\alpha - \frac{\pi }{4}} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Sử dụng kiến thức về hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng giác: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\).
+ Sử dụng kiến thức về góc nhân đôi để tính \(\tan 2\alpha = \frac{{2\tan \alpha }}{{1 - {{\tan }^2}\alpha }};\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \)
+ Sử dụng kiến thức về công thức cộng để tính: \(\cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \); \(\tan \left( {\alpha - \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha - \tan \beta }}{{1 + \tan \alpha \tan \beta }}\)
Lời giải chi tiết
Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \Rightarrow \cos \alpha < 0\)
Do đó, \(\cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2}} = - \frac{{\sqrt 7 }}{4}\) a) \(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2.\frac{3}{4}.\frac{{ - \sqrt 7 }}{4} = \frac{{ - 3\sqrt 7 }}{8}\);
b) \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \alpha \cos \frac{\pi }{3} - \sin \alpha \sin \frac{\pi }{3} = \frac{{ - \sqrt 7 }}{4}.\frac{1}{2} - \frac{3}{4}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{ - \sqrt 7 - 3\sqrt 3 }}{8}\);
c) \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{3}{4}}}{{\frac{{ - \sqrt 7 }}{4}}} = \frac{{ - 3\sqrt 7 }}{7}\), \(\tan 2\alpha = \frac{{2\tan \alpha }}{{1 - {{\tan }^2}\alpha }} = 3\sqrt 7 \)
\(\tan \left( {2\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan 2\alpha - \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 + \tan 2\alpha .\tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{3\sqrt 7 - 1}}{{1 + 3\sqrt 7 .1}} = \frac{{{{\left( {3\sqrt 7 - 1} \right)}^2}}}{{\left( {3\sqrt 7 - 1} \right)\left( {1 + 3\sqrt 7 } \right)}} = \frac{{32 - 3\sqrt 7 }}{{31}}\).
Bài 1 trang 34 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 thuộc chương trình học về hàm số bậc hai. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về parabol, đỉnh của parabol, trục đối xứng và các điểm đặc biệt của parabol để giải quyết các bài toán liên quan đến việc xác định phương trình parabol khi biết các yếu tố khác nhau.
Bài 1 bao gồm một số câu hỏi nhỏ, mỗi câu hỏi yêu cầu học sinh thực hiện một thao tác cụ thể liên quan đến việc xác định phương trình parabol. Cụ thể:
Để giải quyết bài tập này, học sinh cần nắm vững các công thức và kiến thức sau:
Bước 1: Viết phương trình chính tắc của parabol có đỉnh I(1; 2): y = a(x - 1)2 + 2
Bước 2: Thay tọa độ điểm A(3; 0) vào phương trình để tìm a: 0 = a(3 - 1)2 + 2 => 0 = 4a + 2 => a = -1/2
Bước 3: Thay a = -1/2 vào phương trình chính tắc: y = -1/2(x - 1)2 + 2
Kết luận: Phương trình parabol cần tìm là y = -1/2(x - 1)2 + 2
Bước 1: Viết phương trình chính tắc của parabol có đỉnh I(-1; -2): y = a(x + 1)2 - 2
Bước 2: Thay tọa độ điểm B(0; -1) vào phương trình để tìm a: -1 = a(0 + 1)2 - 2 => -1 = a - 2 => a = 1
Bước 3: Thay a = 1 vào phương trình chính tắc: y = (x + 1)2 - 2
Kết luận: Phương trình parabol cần tìm là y = (x + 1)2 - 2
Bước 1: Viết phương trình chính tắc của parabol có trục đối xứng x = -2: y = a(x + 2)2 + k
Bước 2: Thay tọa độ điểm C(1; 3) vào phương trình: 3 = a(1 + 2)2 + k => 3 = 9a + k
Bước 3: Thay tọa độ điểm D(-5; 3) vào phương trình: 3 = a(-5 + 2)2 + k => 3 = 9a + k
Bước 4: Giải hệ phương trình: 9a + k = 3. Hệ phương trình này có vô số nghiệm, do đó, k có thể là bất kỳ giá trị nào. Tuy nhiên, để đơn giản, ta có thể chọn k = 0.
Bước 5: Khi k = 0, ta có 9a = 3 => a = 1/3
Bước 6: Thay a = 1/3 và k = 0 vào phương trình chính tắc: y = 1/3(x + 2)2
Kết luận: Phương trình parabol cần tìm là y = 1/3(x + 2)2
Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải bài tập được trình bày trên đây, các em học sinh đã có thể tự tin giải quyết bài 1 trang 34 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1. Chúc các em học tập tốt!
