Chào mừng bạn đến với giaitoan.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 2 trang 45 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi cam kết mang đến cho bạn những giải pháp học tập tốt nhất, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong các kỳ thi.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^3} - {x^2} + 2x + 1\) có đồ thị (C). Tìm tiếp tuyến với (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
Đề bài
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^3} - {x^2} + 2x + 1\) có đồ thị (C). Tìm tiếp tuyến với (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về ý nghĩa hình học của đạo hàm để tìm hệ số góc của tiếp tuyến:
Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \({x_0}\) là hệ số góc của tiếp tuyến \({M_0}T\) với đồ thị (C) của hàm số tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\).
Tiếp tuyến \({M_0}T\) có phương trình là: \(y - f\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\)
Lời giải chi tiết
Gọi tiếp tuyến của đồ thị (C) là d và tiếp điểm là \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\).
Hệ số góc của d là:
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 6x_0^2 - 2{x_0} + 2 = 6\left( {x_0^2 - \frac{1}{3}{x_0} + \frac{1}{3}} \right) = 6\left( {x_0^2 - 2.{x_0}.\frac{1}{6} + \frac{1}{{36}} + \frac{{11}}{{36}}} \right)\)\( = 6{\left( {{x_0} - \frac{1}{6}} \right)^2} + \frac{{11}}{6}\)
Ta có: \(6{\left( {{x_0} - \frac{1}{6}} \right)^2} + \frac{{11}}{6} \ge \frac{{11}}{6}\) nên \(f'\left( {{x_0}} \right) \ge \frac{{11}}{6}\)
Nên hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị với (C) nhỏ nhất bằng \(\frac{{11}}{6}\) khi \({x_0} - \frac{1}{6} = 0 \Leftrightarrow {x_0} = \frac{1}{6}\).
Với \({x_0} = \frac{1}{6}\) thì \(f\left( {\frac{1}{6}} \right) = 2.{\left( {\frac{1}{6}} \right)^3} - {\left( {\frac{1}{6}} \right)^2} + 2.\frac{1}{6} + 1 = \frac{{71}}{{54}}\)
Do đó, tiếp tuyến d cần tìm là: \(y = f'\left( {\frac{1}{6}} \right)\left( {x - \frac{1}{6}} \right) + f\left( {\frac{1}{6}} \right) = \frac{{11}}{6}\left( {x - \frac{1}{6}} \right) + \frac{{71}}{{54}} = \frac{{11}}{6}x + \frac{{109}}{{108}}\)
Vậy tiếp tuyến cần tìm là: \(y = \frac{{11}}{6}x + \frac{{109}}{{108}}\)
Bài 2 trang 45 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 thuộc chương trình học về đạo hàm. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về định nghĩa đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và đạo hàm của hàm hợp để giải quyết các bài toán cụ thể. Việc nắm vững các khái niệm và quy tắc này là vô cùng quan trọng để thành công trong môn Toán 11.
Bài 2 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải bài 2 trang 45 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Giả sử chúng ta có hàm số f(x) = x2 + 2x - 1. Để tính đạo hàm của hàm số này, chúng ta áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng và đạo hàm của lũy thừa:
f'(x) = 2x + 2
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Để học tập và ôn luyện môn Toán 11 hiệu quả, bạn có thể tham khảo các tài liệu sau:
Bài 2 trang 45 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm. Hy vọng rằng với những hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa trong bài viết này, bạn sẽ có thể giải bài tập một cách dễ dàng và hiệu quả. Chúc bạn học tập tốt!
| Quy tắc | Công thức |
|---|---|
| Đạo hàm của hằng số | (c)' = 0 |
| Đạo hàm của lũy thừa | (xn)' = nxn-1 |
| Đạo hàm của tổng | (u + v)' = u' + v' |
