Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 3 trang 31 sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1. Bài viết này sẽ cung cấp đáp án chính xác, phương pháp giải rõ ràng, giúp các em học sinh hiểu sâu kiến thức và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những tài liệu học tập chất lượng, hỗ trợ tối đa cho quá trình học tập của các em. Hãy cùng theo dõi và luyện tập để nắm vững kiến thức Toán 11 nhé!
Giải các phương trình lượng giác sau: a) \(\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = 0\); b) \(2{\cos ^2}x + 5\sin x - 4 = 0\);
Đề bài
Giải các phương trình lượng giác sau:
a) \(\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = 0\);
b) \(2{\cos ^2}x + 5\sin x - 4 = 0\);
c) \(\cos \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) + 2{\sin ^2}x - 1 = 0\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về phương trình lượng giác cơ bản để giải:
a, c) Phương trình \(\cos x = m\) có nghiệm khi \(\left| m \right| \le 1\). Khi đó, nghiệm của phương trình là \(x = \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\); \(x = - \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) với \(\alpha \) là góc thuộc \(\left[ {0;\pi } \right]\) sao cho \(\cos \alpha = m\).
Đặc biệt: \(\cos u = \cos v \Leftrightarrow u = v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) hoặc \(u = - v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\(\cos u = \cos {a^0} \Leftrightarrow u = {a^0} + k{360^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) hoặc \(u = - {a^0} + k{360^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) Phương trình \(\sin x = m\) có nghiệm khi \(\left| m \right| \le 1\). Khi đó, nghiệm của phương trình là \(x = \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\); \(x = \pi - \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) với \(\alpha \) là góc thuộc \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) sao cho \(\sin \alpha = m\).
Lời giải chi tiết
a) \(\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = 0 \) \( \Leftrightarrow 2\cos \frac{\pi }{4}\cos x = 0 \) \( \Leftrightarrow \cos x = 0\)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) \(2{\cos ^2}x + 5\sin x - 4 = 0 \) \( \Leftrightarrow 2\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) + 5\sin x - 4 = 0 \) \( \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - 5\sin x + 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\sin x - 2} \right) = 0 \) \( \Leftrightarrow 2\sin x - 1 = 0\) (do \(\sin x - 2 < 0\) với mọi số thực x)
\( \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \) \( \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{6} \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right);x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
c) \(\cos \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) + 2{\sin ^2}x - 1 = 0 \) \( \Leftrightarrow \cos \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) - \cos 2x = 0 \) \( \Leftrightarrow \cos \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos 2x\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - \frac{\pi }{4} = 2x + k2\pi \\3x - \frac{\pi }{4} = - 2x + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{{20}} + \frac{{k2\pi }}{5}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right);x = \frac{\pi }{{20}} + \frac{{k2\pi }}{5}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Bài 3 trang 31 sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 thuộc chương trình học về hàm số bậc hai. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về parabol, đỉnh của parabol, trục đối xứng và các điểm đặc biệt của parabol để giải quyết các bài toán liên quan đến việc xác định phương trình parabol khi biết các yếu tố khác nhau.
Bài 3 bao gồm các câu hỏi nhỏ, mỗi câu hỏi tập trung vào một khía cạnh cụ thể của việc xác định phương trình parabol. Cụ thể:
Để giải bài 3 trang 31, học sinh cần nắm vững các công thức và phương pháp sau:
Ta có phương trình parabol có dạng: y = a(x - 1)2 + 2. Thay tọa độ điểm A(3; 0) vào phương trình, ta được:
0 = a(3 - 1)2 + 2 => 0 = 4a + 2 => a = -1/2
Vậy phương trình parabol là: y = -1/2(x - 1)2 + 2
Ta có phương trình parabol có dạng: y = a(x + 1)2 - 2. Thay tọa độ điểm B(0; -1) vào phương trình, ta được:
-1 = a(0 + 1)2 - 2 => -1 = a - 2 => a = 1
Vậy phương trình parabol là: y = (x + 1)2 - 2
Ta có phương trình parabol có dạng: y = a(x + 2)2 + k. Thay tọa độ điểm C(0; 3) vào phương trình, ta được:
3 = a(0 + 2)2 + k => 3 = 4a + k (1)
Thay tọa độ điểm D(-4; 3) vào phương trình, ta được:
3 = a(-4 + 2)2 + k => 3 = 4a + k (2)
Từ (1) và (2), ta thấy 4a + k = 3. Để xác định a và k, cần thêm thông tin. Tuy nhiên, vì hai điểm C và D có cùng tung độ, nên parabol có trục đối xứng là đường thẳng đi qua trung điểm của C và D. Trung điểm của C và D là: ((-4+0)/2, (3+3)/2) = (-2, 3). Vậy đỉnh của parabol là (-2, 3). Do đó, k = 3. Thay k = 3 vào 4a + k = 3, ta được 4a + 3 = 3 => a = 0. Nhưng a ≠ 0, nên có lẽ đề bài có sai sót.
Giả sử trục đối xứng là x = -2, ta có phương trình y = a(x+2)2 + k. Thay C(0,3) vào: 3 = 4a + k. Thay D(-4,3) vào: 3 = 4a + k. Như vậy, ta chỉ có một phương trình với hai ẩn, không đủ để xác định a và k. Cần thêm thông tin.
Tương tự như câu c, ta có phương trình parabol có dạng: y = a(x - 1)2 + k. Thay tọa độ điểm E(2; 5) vào phương trình, ta được:
5 = a(2 - 1)2 + k => 5 = a + k (1)
Thay tọa độ điểm F(0; 1) vào phương trình, ta được:
1 = a(0 - 1)2 + k => 1 = a + k (2)
Từ (1) và (2), ta thấy a + k = 5 và a + k = 1, điều này mâu thuẫn. Vậy có lẽ đề bài có sai sót.
Bài 3 trang 31 sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về parabol và phương pháp xác định phương trình parabol. Việc nắm vững các công thức và phương pháp giải là điều cần thiết để giải quyết bài tập một cách hiệu quả. Lưu ý kiểm tra lại đề bài nếu gặp các trường hợp mâu thuẫn trong quá trình giải.
