Bài 1 trang 43 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân để giải quyết các bài toán thực tế.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 1 trang 43 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) (y = frac{{ - 3{x^2}}}{2} + frac{2}{x} + frac{{{x^3}}}{3});
Đề bài
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{ - 3{x^2}}}{2} + \frac{2}{x} + \frac{{{x^3}}}{3}\);
b) \(y = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} + 9} \right)\);
c) \(y = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{x^2} + x + 1}};\)
d) \(y = \frac{{1 - 2x}}{{x + 1}}\);
e) \(y = x.{e^{2x + 1}}\);
g) \(y = \left( {2x + 3} \right){.3^{2x + 1}}\);
h) \(y = x{\ln ^2}x\);
i) \(y = {\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về các quy tắc tính đạo hàm để tính: a) \(\left( {u + v + {\rm{w}}} \right)' = u' + v' + {\rm{w}}',\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha .{x^{\alpha - 1}}\left( {x > 0} \right)\)b) \(\left( {u \pm v} \right)' = u' \pm v',\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha .{x^{\alpha - 1}}\left( {x > 0} \right),c' = 0\) với c là hằng số.c, d) \({\left( {\frac{u}{v}} \right)'} = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\left( {v = v\left( x \right) \ne 0} \right)\) , \(\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha .{x^{\alpha - 1}}\left( {x > 0} \right)\)e) \(\left( {uv} \right)' = u'v + uv',\left( {{e^{u\left( x \right)}}} \right)' = \left( {u\left( x \right)} \right)'{e^{u\left( x \right)}}\)g) \(\left( {uv} \right)' = u'v + uv',\left( {{a^{u\left( x \right)}}} \right)' = \left( {u\left( x \right)} \right)'{a^{u\left( x \right)}}\ln a\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\)h) \(\left( {uv} \right)' = u'v + uv',\left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}\left( {x > 0} \right),\left\{ {{{\left[ {u\left( x \right)} \right]}^\alpha }} \right\}' = \alpha {\left[ {u\left( x \right)} \right]^{\alpha - 1}}\left[ {u\left( x \right)} \right]'\)i) \(\left( {{{\log }_a}u\left( x \right)} \right)' = \frac{{u'\left( x \right)}}{{u\left( x \right)\ln a}}\left( {u\left( x \right) > 0,a > 0,a \ne 1} \right)\)
Lời giải chi tiết
a) \(y' = {\left( {\frac{{ - 3{x^2}}}{2} + \frac{2}{x} + \frac{{{x^3}}}{3}} \right)'} = \frac{{ - 3.2x}}{2} - \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{{3.{x^2}}}{3} = - 3x - \frac{2}{{{x^2}}} + {x^2}\);b) Ta có: \(y = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} + 9} \right) = \left( {{x^4} - 5{x^2} + 4} \right)\left( {{x^2} + 9} \right)\)\( = {x^6} - 5{x^4} + 4{x^2} + 9{x^4} - 45{x^2} + 36 = {x^6} + 4{x^4} - 41{x^2} + 36\)Do đó, \(y' = \left( {{x^6} + 4{x^4} - 41{x^2} + 36} \right)' = 6{x^5} + 16{x^3} - 82x\)c) \(y' = {\left( {\frac{{{x^2} - 2x}}{{{x^2} + x + 1}}} \right)'} = \frac{{\left( {{x^2} - 2x} \right)'\left( {{x^2} + x + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)'}}{{{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{\left( {2x - 2} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x} \right)\left( {2x + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{2{x^3} + 2{x^2} + 2x - 2{x^2} - 2x - 2 - 2{x^3} - {x^2} + 4{x^2} + 2x}}{{{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{3{x^2} + 2x - 2}}{{{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^2}}}\)d) \(y' = {\left( {\frac{{1 - 2x}}{{x + 1}}} \right)'} = \frac{{\left( {1 - 2x} \right)'\left( {x + 1} \right) - \left( {1 - 2x} \right)\left( {x + 1} \right)'}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2\left( {x + 1} \right) - \left( {1 - 2x} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{ - 2x - 2 - 1 + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)e) \(y' = \left( {x.{e^{2x + 1}}} \right)' = x'.{e^{2x + 1}} + x.\left( {{e^{2x + 1}}} \right)' = {e^{2x + 1}} + x.2.{e^{2x + 1}} = {e^{2x + 1}}\left( {2x + 1} \right)\);g) \(y' = \left( {\left( {2x + 3} \right){{.3}^{2x + 1}}} \right)' = \left( {2x + 3} \right)'{.3^{2x + 1}} + \left( {2x + 3} \right).\left( {{3^{2x + 1}}} \right)'\)\( = {2.3^{2x + 1}} + \left( {2x + 3} \right)\left( {2x + 1} \right)'{.3^{2x + 1}}\ln 3 = {2.3^{2x + 1}} + {2.3^{2x + 1}}\left( {2x + 3} \right)\ln 3\)\( = {2.3^{2x + 1}}\left[ {\left( {2x + 3} \right)\ln 3 + 1} \right]\)h) \(y' = \left( {x{{\ln }^2}x} \right)' = x'{\ln ^2}x + x.\left( {{{\ln }^2}x} \right)' = {\ln ^2}x + 2x.\ln x.\frac{1}{x} = {\ln ^2}x + 2.\ln x\);i) \(y' = \left[ {{{\log }_2}\left( {{x^2} + 1} \right)} \right]' = \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)'}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2}} = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2}}\)
Bài 1 trong sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 tập trung vào việc củng cố kiến thức về dãy số, đặc biệt là các loại dãy số đặc biệt như cấp số cộng và cấp số nhân. Bài tập này thường yêu cầu học sinh xác định các yếu tố của dãy số, tính tổng của các số hạng, và ứng dụng các công thức liên quan để giải quyết các bài toán thực tế.
Bài 1 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về cách giải bài 1 trang 43, chúng ta sẽ đi vào phân tích từng dạng bài tập cụ thể.
Cho dãy số: 2, 6, 18, 54,... Hãy xác định dãy số này là loại nào?
Giải:
Ta có: 6/2 = 3; 18/6 = 3; 54/18 = 3. Vì tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số, nên dãy số này là một cấp số nhân với công bội q = 3.
Cho cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 3 và công sai d = 2. Hãy tính số hạng thứ 5 của cấp số cộng này.
Giải:
Số hạng thứ n của cấp số cộng được tính theo công thức: un = u1 + (n-1)d. Vậy, số hạng thứ 5 là: u5 = 3 + (5-1) * 2 = 3 + 8 = 11.
Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 1 và công bội q = 2.
Giải:
Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân được tính theo công thức: Sn = u1 * (q^n - 1) / (q - 1). Vậy, tổng của 10 số hạng đầu tiên là: S10 = 1 * (2^10 - 1) / (2 - 1) = 1 * (1024 - 1) / 1 = 1023.
Để giải tốt các bài tập về dãy số, các em học sinh cần:
Bài 1 trang 43 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 là một bài tập quan trọng giúp các em học sinh củng cố kiến thức về dãy số. Hy vọng với lời giải chi tiết và các mẹo giải bài tập mà Giaitoan.edu.vn cung cấp, các em sẽ tự tin hơn khi làm bài tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
