Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 7 trang 31 sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1. Bài viết này sẽ cung cấp đáp án chính xác, phương pháp giải rõ ràng, giúp học sinh hiểu sâu kiến thức và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những tài liệu học tập chất lượng, hỗ trợ tối đa cho quá trình học tập của các bạn. Hãy cùng theo dõi và luyện tập để nắm vững kiến thức Toán 11 nhé!
Tìm hoành độ các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \sin 3x - \cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} - x} \right)\) với trục hoành.
Đề bài
Tìm hoành độ các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \sin 3x - \cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} - x} \right)\) với trục hoành.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về phương trình lượng giác cơ bản để giải: Phương trình \(\sin x = m\) có nghiệm khi \(\left| m \right| \le 1\). Khi đó, nghiệm của phương trình là \(x = \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\); \(x = \pi - \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) với \(\alpha \) là góc thuộc \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) sao cho \(\sin \alpha = m\).
Đặc biệt: \(\sin u = \sin v \) \( \Leftrightarrow u = v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) hoặc \(u = \pi - v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Lời giải chi tiết
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \sin 3x - \cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} - x} \right)\) với trục hoành là:
\(\sin 3x - \cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} - x} \right) = 0 \) \( \Leftrightarrow \sin 3x = \cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} - x} \right) \) \( \Leftrightarrow \sin 3x = \sin \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {\frac{{3\pi }}{4} - x} \right)} \right]\)
\( \Leftrightarrow \sin 3x = \sin \left( {\frac{{ - \pi }}{4} + x} \right) \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{{ - \pi }}{4} + x + k2\pi \\3x = \pi - \left( {\frac{{ - \pi }}{4} + x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - \pi }}{8} + k\pi \\x = \frac{{5\pi }}{{16}} + \frac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vậy hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \sin 3x - \cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} - x} \right)\) với trục hoành là: \(x = \frac{{ - \pi }}{8} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right);x = \frac{{5\pi }}{{16}} + \frac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Bài 7 trang 31 sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 thuộc chương trình học về hàm số bậc hai. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về parabol, đỉnh của parabol, trục đối xứng và các điểm đặc biệt của parabol để giải quyết các bài toán liên quan đến việc xác định phương trình parabol khi biết các yếu tố khác nhau.
Bài 7 bao gồm các câu hỏi nhỏ, mỗi câu hỏi tập trung vào một khía cạnh cụ thể của việc xác định phương trình parabol. Cụ thể:
Để giải quyết bài 7 trang 31, học sinh cần nắm vững các công thức và kiến thức sau:
Lời giải:
Vì parabol có đỉnh I(1; 2) nên phương trình có dạng: y = a(x - 1)2 + 2. Thay tọa độ điểm A(3; 0) vào phương trình, ta được:
0 = a(3 - 1)2 + 2 => 0 = 4a + 2 => a = -1/2
Vậy phương trình parabol là: y = -1/2(x - 1)2 + 2
Lời giải:
Gọi M(x; y) là một điểm bất kỳ trên parabol. Theo định nghĩa parabol, khoảng cách từ M đến tiêu điểm F bằng khoảng cách từ M đến đường chuẩn Δ.
√((x - 2)2 + (y - 3)2) = |x + 2|
Bình phương hai vế, ta được: (x - 2)2 + (y - 3)2 = (x + 2)2
=> x2 - 4x + 4 + y2 - 6y + 9 = x2 + 4x + 4
=> y2 - 6y + 9 = 8x
=> y2 - 6y + 9 - 8x = 0
Vậy phương trình parabol là: y2 - 6y - 8x + 9 = 0
Lời giải:
Gọi F(x0; y0) là tiêu điểm của parabol. Theo định nghĩa parabol, khoảng cách từ M đến tiêu điểm F bằng khoảng cách từ M đến đường chuẩn Δ.
√((x0 - 0)2 + (y0 - 2)2) = |0 + 1| = 1
=> x02 + (y0 - 2)2 = 1
Vì đường chuẩn là x = -1, trục đối xứng của parabol là đường thẳng y = y0. Do đó, tiêu điểm F nằm trên trục đối xứng, tức là y0 = 2.
Thay y0 = 2 vào phương trình trên, ta được: x02 + (2 - 2)2 = 1 => x02 = 1 => x0 = 1 (vì p > 0)
Vậy tiêu điểm F(1; 2). Phương trình parabol có dạng: (x - 1)2 = 4p(y - 2). Vì khoảng cách từ M(0; 2) đến đường chuẩn x = -1 là 1, nên 4p = 1 => p = 1/4.
Vậy phương trình parabol là: (x - 1)2 = y - 2
Bài 7 trang 31 sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về parabol và các yếu tố liên quan. Việc nắm vững phương pháp giải và luyện tập thường xuyên sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi giải các bài toán tương tự.
