Bài 5 trang 14 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về các khái niệm đã học để giải quyết các bài toán cụ thể.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 5 trang 14 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau: a) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\); b) \(\frac{{1 + \cot x}}{{1 - \cot x}} = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x - 1}}\);
Đề bài
Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:
a) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\);
b) \(\frac{{1 + \cot x}}{{1 - \cot x}} = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x - 1}}\);
c) \(\frac{{\sin \alpha + \cos \alpha }}{{{{\sin }^3}\alpha }} = \frac{{1 - {{\cot }^4}\alpha }}{{1 - \cot \alpha }}\);
d) \(\frac{{{{\tan }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha - 1}}{{{{\cot }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha - 1}} = {\tan ^6}\alpha \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc:
a) \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\)
b) \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }}\)
c) \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + {\cot ^2}\alpha ,\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\)
d) \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\), \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha \), \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\), \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\), \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + {\cot ^2}\alpha ,\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }}\)
Lời giải chi tiết
a) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = {\sin ^4}x + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x + {\cos ^4}x - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\)
\( = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\)
b) \(\frac{{1 + \cot x}}{{1 - \cot x}} = \frac{{1 + \frac{1}{{\tan x}}}}{{1 - \frac{1}{{\tan x}}}} = \frac{{\frac{{\tan x + 1}}{{\tan x}}}}{{\frac{{\tan x - 1}}{{\tan x}}}} = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x - 1}}\);
c) \(\frac{{\sin \alpha + \cos \alpha }}{{{{\sin }^3}\alpha }} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{{\cos \alpha }}{{{{\sin }^3}\alpha }} = 1 + {\cot ^2}\alpha + \cot \alpha \left( {1 + {{\cot }^2}\alpha } \right)\)
\( = \left( {1 + {{\cot }^2}\alpha } \right)\left( {1 + \cot \alpha } \right) = \frac{{\left( {1 + {{\cot }^2}\alpha } \right)\left( {1 + \cot \alpha } \right)\left( {1 - \cot \alpha } \right)}}{{\left( {1 - \cot \alpha } \right)}}\)\( = \frac{{1 - {{\cot }^4}\alpha }}{{1 - \cot \alpha }}\)
d) \(\frac{{{{\tan }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha - 1}}{{{{\cot }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha - 1}} = \frac{{{{\tan }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cot }^2}\alpha - {{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} - {{\sin }^2}\alpha }}{{\frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} - {{\cos }^2}\alpha }}\)
\( = \frac{{{{\sin }^2}\alpha \left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1} \right)}}{{{{\cos }^2}\alpha \left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} - 1} \right)}} = {\tan ^2}\alpha .\frac{{{{\tan }^2}\alpha }}{{{{\cot }^2}\alpha }} = {\tan ^6}\alpha \)
Bài 5 trang 14 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào việc củng cố kiến thức về các khái niệm và kỹ năng đã được giới thiệu trong sách giáo khoa. Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về hàm số, đồ thị hàm số, và các phép biến đổi hàm số.
Trước khi bắt đầu giải bài tập, điều quan trọng là phải đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán. Trong bài 5 trang 14, học sinh thường được yêu cầu:
Để cung cấp một lời giải chi tiết, chúng ta cần xem xét từng phần của bài tập. Ví dụ, nếu bài tập yêu cầu xác định tập xác định của hàm số, chúng ta cần tìm các giá trị của x sao cho hàm số có nghĩa. Điều này có thể liên quan đến việc loại bỏ các giá trị của x làm mẫu số bằng không hoặc các giá trị của x nằm trong căn bậc chẵn.
Tương tự, để tìm tập giá trị của hàm số, chúng ta cần xác định các giá trị của y mà hàm số có thể đạt được. Điều này có thể liên quan đến việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng xác định.
Giả sử bài tập yêu cầu xác định tập xác định của hàm số f(x) = √(x - 2). Để hàm số có nghĩa, chúng ta cần x - 2 ≥ 0, tức là x ≥ 2. Vậy tập xác định của hàm số là [2, +∞).
Nếu bài tập yêu cầu vẽ đồ thị hàm số, chúng ta cần xác định các điểm đặc biệt của đồ thị, chẳng hạn như giao điểm với các trục tọa độ, điểm cực trị, và điểm uốn. Sau đó, chúng ta có thể vẽ đồ thị bằng cách nối các điểm này lại với nhau.
Các bài tập về hàm số và đồ thị hàm số có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của khoa học và kỹ thuật, chẳng hạn như vật lý, hóa học, kinh tế, và tin học. Việc nắm vững kiến thức về hàm số và đồ thị hàm số giúp chúng ta hiểu và giải quyết các vấn đề thực tế một cách hiệu quả.
Bài 5 trang 14 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số và đồ thị hàm số. Bằng cách phân tích đề bài, áp dụng các kiến thức cơ bản, và sử dụng các công cụ hỗ trợ, học sinh có thể giải quyết bài tập này một cách hiệu quả và đạt kết quả tốt trong học tập.
Giaitoan.edu.vn hy vọng rằng lời giải chi tiết và dễ hiểu này sẽ giúp các em học sinh học tập tốt hơn. Chúc các em thành công!
