Chào mừng bạn đến với giaitoan.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 5 trang 31 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi cam kết mang đến cho bạn những giải pháp học tập tốt nhất, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong các kỳ thi.
Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau trong khoảng \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\). a) \(\sin \left( {3x - \frac{\pi }{3}} \right) = 1\);
Đề bài
Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau trong khoảng \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\).
a) \(\sin \left( {3x - \frac{\pi }{3}} \right) = 1\);
b) \(2\cos \left( {2x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \sqrt 3 \);
c) \(\tan \left( {x + \frac{\pi }{9}} \right) = \tan \frac{{4\pi }}{9}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về phương trình lượng giác cơ bản để giải:
a) Phương trình \(\sin x = m\) có nghiệm khi \(\left| m \right| \le 1\). Khi đó, nghiệm của phương trình là \(x = \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\); \(x = \pi - \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) với \(\alpha \) là góc thuộc \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) sao cho \(\sin \alpha = m\).
Đặc biệt: \(\sin u = \sin v \) \( \Leftrightarrow u = v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) hoặc \(u = \pi - v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) Phương trình \(\cos x = m\) có nghiệm khi \(\left| m \right| \le 1\). Khi đó, nghiệm của phương trình là \(x = \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\); \(x = - \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) với \(\alpha \) là góc thuộc \(\left[ {0;\pi } \right]\) sao cho \(\cos \alpha = m\).
Đặc biệt: \(\cos u = \cos v \) \( \Leftrightarrow u = v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) hoặc \(u = - v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
c) Với mọi số thực m, phương trình \(\tan x = m\) có nghiệm \(x = \alpha + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) với \(\alpha \) là góc thuộc \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) sao cho \(\tan \alpha = m\).
Lời giải chi tiết
a) \(\sin \left( {3x - \frac{\pi }{3}} \right) = 1 \) \( \Leftrightarrow 3x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \) \( \Leftrightarrow x = \frac{{5\pi }}{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vì \(x \in \left( { - \pi ;\pi } \right) \Rightarrow - \pi < \frac{{5\pi }}{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3} < \pi \) \( \Leftrightarrow \frac{{ - 23}}{{12}} < k < \frac{{13}}{{12}}\)
Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\). Do đó, \(x \in \left\{ {\frac{{ - 7\pi }}{{18}};\frac{{5\pi }}{{18}};\frac{{17\pi }}{{18}}} \right\}\).
b) \(2\cos \left( {2x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \sqrt 3 \) \( \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \) \( \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \cos \frac{\pi }{6}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{{3\pi }}{4} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x - \frac{{3\pi }}{4} = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{11\pi }}{{24}} + k\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{24}} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vì \(x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\) nên:
TH1: \( - \pi < \frac{{11\pi }}{{24}} + k\pi < \pi \) \( \Leftrightarrow \frac{{ - 35}}{{24}} < k < \frac{{13}}{{24}}\).
Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ { - 1;0} \right\}\). Do đó, \(x \in \left\{ {\frac{{ - 13\pi }}{{24}};\frac{{11\pi }}{{24}}} \right\}\).
TH2: \( - \pi < \frac{{7\pi }}{{24}} + k\pi < \pi \) \( \Leftrightarrow \frac{{ - 31}}{{24}} < k < \frac{{17}}{{24}}\).
Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ { - 1;0} \right\}\). Do đó, \(x \in \left\{ {\frac{{ - 17\pi }}{{24}};\frac{{7\pi }}{{24}}} \right\}\).
Vậy \(x \in \left\{ {\frac{{ - 17\pi }}{{24}};\frac{{ - 13\pi }}{{24}};\frac{{7\pi }}{{24}};\frac{{11\pi }}{{24}}} \right\}\).
c) \(\tan \left( {x + \frac{\pi }{9}} \right) = \tan \frac{{4\pi }}{9} \) \( \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{9} = \frac{{4\pi }}{9} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \) \( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vì \(x \in \left( { - \pi ;\pi } \right) \Rightarrow - \pi < \frac{\pi }{3} + k\pi < \pi \) \( \Leftrightarrow \frac{{ - 4}}{3} < k < \frac{2}{3}\)
Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ { - 1;0} \right\}\). Do đó, \(x \in \left\{ {\frac{{ - 2\pi }}{3};\frac{\pi }{3}} \right\}\).
Bài 5 trang 31 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 thuộc chương trình học về hàm số lượng giác. Bài tập này thường tập trung vào việc xác định tập xác định của hàm số lượng giác, tìm tập giá trị, và xét tính đơn điệu của hàm số. Việc nắm vững kiến thức về đường tròn lượng giác và các công thức lượng giác cơ bản là rất quan trọng để giải quyết bài tập này.
Bài 5 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Bài 5a: Xác định tập xác định của hàm số y = tan(2x + π/3)
Lời giải: Hàm số y = tan(2x + π/3) xác định khi và chỉ khi cos(2x + π/3) ≠ 0. Điều này tương đương với 2x + π/3 ≠ π/2 + kπ, với k là số nguyên. Suy ra 2x ≠ π/6 + kπ, hay x ≠ π/12 + kπ/2, với k là số nguyên. Vậy tập xác định của hàm số là D = R \ {π/12 + kπ/2, k ∈ Z}.
Kiến thức về hàm số lượng giác có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của khoa học và kỹ thuật, như vật lý, kỹ thuật điện, xử lý tín hiệu, và đồ họa máy tính. Ví dụ, trong vật lý, hàm sin và cos được sử dụng để mô tả các dao động điều hòa. Trong kỹ thuật điện, hàm sin và cos được sử dụng để phân tích các mạch điện xoay chiều.
Để củng cố kiến thức, bạn có thể làm thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1. Ngoài ra, bạn có thể tìm kiếm các bài tập trực tuyến trên các trang web học toán uy tín.
Bài 5 trang 31 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 là một bài tập quan trọng giúp bạn hiểu rõ hơn về hàm số lượng giác. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, bạn sẽ giải quyết bài tập này một cách dễ dàng và hiệu quả. Chúc bạn học tốt!
