Bài 3 trang 43 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về các khái niệm đã học để giải quyết các bài toán cụ thể.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 3 trang 43 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) (y = {left( {1 + {x^2}} right)^{20}}); b) (y = frac{{2 + x}}{{sqrt {1 - x} }}).
Đề bài
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = {\left( {1 + {x^2}} \right)^{20}}\);
b) \(y = \frac{{2 + x}}{{\sqrt {1 - x} }}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Sử dụng kiến thức về đạo hàm của hàm hợp: Cho hàm số \(u = g\left( x \right)\) có đạo hàm tại x là \(u_x'\) và hàm số \(y = f\left( u \right)\) có đạo hàm tại u là \(y_u'\) thì hàm hợp \(y = f\left( {g\left( x \right)} \right)\) có đạo hàm tại x là \(y_x' = y_u'.u_x'\).
+ Sử dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để tính:
a) \({\left[ {u\left( x \right)} \right]^\alpha } = \alpha {\left[ {u\left( x \right)} \right]^{\alpha - 1}}\left[ {u\left( x \right)} \right]'\)
b) \({\left( {\frac{u}{v}} \right)'} = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\left( {v = v\left( x \right) \ne 0} \right)\)
Lời giải chi tiết
a) \(y' \) \( = \left[ {{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^{20}}} \right]' \) \( = \left( {1 + {x^2}} \right)'.20{\left( {1 + {x^2}} \right)^{19}} \) \( = 40x{\left( {1 + {x^2}} \right)^{19}}\)
b) \(y' \) \( = {\left( {\frac{{2 + x}}{{\sqrt {1 - x} }}} \right)'} \) \( = \frac{{\left( {2 + x} \right)'\sqrt {1 - x} - \left( {\sqrt {1 - x} } \right)'\left( {2 + x} \right)}}{{{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^2}}} \) \( = \frac{{\sqrt {1 - x} - \frac{{\left( {1 - x} \right)'}}{{2\sqrt {1 - x} }}\left( {2 + x} \right)}}{{\sqrt {1 - x} }} \) \( = \frac{{\sqrt {1 - x} + \frac{{x + 2}}{{2\sqrt {1 - x} }}}}{{1 - x}} \) \( = \frac{{2 - 2x + x + 2}}{{2\sqrt {1 - x} \left( {1 - x} \right)}} \) \( = \frac{{ - x + 4}}{{2\sqrt {1 - x} \left( {1 - x} \right)}}\)
Bài 3 trang 43 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 thuộc chương trình học về đạo hàm. Bài tập này tập trung vào việc tính đạo hàm của hàm số lượng giác và hàm hợp. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản và kỹ năng biến đổi đại số.
Bài 3 yêu cầu tính đạo hàm của các hàm số sau:
Để giải bài tập này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp: (u(v(x)))' = u'(v(x)) * v'(x).
Cụ thể, với mỗi hàm số, chúng ta sẽ xác định hàm trong (v(x)) và hàm ngoài (u(x)), sau đó tính đạo hàm của từng hàm và áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp.
Đặt u = 2x + 1, v = sin(u). Khi đó, u' = 2 và v' = cos(u).
Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp, ta có: y' = v'(u) * u' = cos(2x + 1) * 2 = 2cos(2x + 1).
Đặt u = x^2, v = cos(u). Khi đó, u' = 2x và v' = -sin(u).
Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp, ta có: y' = v'(u) * u' = -sin(x^2) * 2x = -2xsin(x^2).
Đặt u = 3x - 2, v = tan(u). Khi đó, u' = 3 và v' = 1/cos^2(u).
Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp, ta có: y' = v'(u) * u' = (1/cos^2(3x - 2)) * 3 = 3/(cos^2(3x - 2)).
Đặt u = x/2, v = cot(u). Khi đó, u' = 1/2 và v' = -1/sin^2(u).
Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp, ta có: y' = v'(u) * u' = (-1/sin^2(x/2)) * (1/2) = -1/(2sin^2(x/2)).
Khi tính đạo hàm của hàm hợp, cần chú ý xác định đúng hàm trong và hàm ngoài. Đồng thời, cần nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản của các hàm số lượng giác.
Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập tương tự sau:
Bài 3 trang 43 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính đạo hàm của hàm hợp. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải được trình bày ở trên, các em học sinh sẽ hiểu rõ bài tập và tự tin làm bài tập.
