Bài 3 trang 19 sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các công thức và tính chất đã học để giải quyết các bài toán thực tế.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 3 trang 19 sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Rút gọn các biểu thức sau: a) \(\sin x{\cos ^5}x - \cos x{\sin ^5}x\); b) \(\frac{{\sin 3x\cos 2x + \sin x\cos 6x}}{{\sin 4x}}\);
Đề bài
Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(\sin x{\cos ^5}x - \cos x{\sin ^5}x\);
b) \(\frac{{\sin 3x\cos 2x + \sin x\cos 6x}}{{\sin 4x}}\);
c) \(\frac{{\cos x - \cos 2x + \cos 3x}}{{\sin x - \sin 2x + \sin 3x}}\);
d) \(\frac{{2\sin \left( {x + y} \right)}}{{\cos \left( {x + y} \right) + \cos \left( {x - y} \right)}} - \tan y\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về các công thức lượng giác để rút gọn:
a) \(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \), \({\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha = \cos 2\alpha \)
b) \(\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\alpha - \beta } \right) + \sin \left( {\alpha + \beta } \right)} \right]\)
c) \(\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos \frac{{\alpha + \beta }}{2}\cos \frac{{\alpha - \beta }}{2}\), \(\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin \frac{{\alpha + \beta }}{2}\cos \frac{{\alpha - \beta }}{2}\)
d) \(\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \), \(\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos \frac{{\alpha + \beta }}{2}\cos \frac{{\alpha - \beta }}{2}\)
Lời giải chi tiết
a) \(\sin x{\cos ^5}x - \cos x{\sin ^5}x \) \( = \sin x\cos x\left( {{{\cos }^4}x - {{\sin }^4}x} \right)\)
\( \) \( = \sin x\cos x\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right) \) \( = \frac{1}{2}\sin 2x\cos 2x \) \( = \frac{1}{4}\sin 4x\)
b) \(\frac{{\sin 3x\cos 2x + \sin x\cos 6x}}{{\sin 4x}} \) \( = \frac{{\frac{1}{2}\left( {\sin 5x + \sin x} \right) + \frac{1}{2}\left( {\sin 7x - \sin 5x} \right)}}{{\sin 4x}}\)
\( \) \( = \frac{{\sin x + \sin 7x}}{{2\sin 4x}} \) \( = \frac{{2\sin 4x\cos 3x}}{{2\sin 4x}} \) \( = \cos 3x\)
c) \(\frac{{\cos x - \cos 2x + \cos 3x}}{{\sin x - \sin 2x + \sin 3x}} \) \( = \frac{{\left( {\cos x + \cos 3x} \right) - \cos 2x}}{{\left( {\sin x + \sin 3x} \right) - \sin 2x}} \) \( = \frac{{2\cos 2x\cos x - \cos 2x}}{{2\sin 2x\cos x - \sin 2x}}\)
\( \) \( = \frac{{\cos 2x\left( {2\cos x - 1} \right)}}{{\sin 2x\left( {2\cos x - 1} \right)}} \) \( = \cot 2x\)
d) \(\frac{{2\sin \left( {x + y} \right)}}{{\cos \left( {x + y} \right) + \cos \left( {x - y} \right)}} - \tan y \) \( = \frac{{2\left( {\sin x\cos y + \cos x\sin y} \right)}}{{2\cos x\cos y}} - \frac{{\sin y}}{{\cos y}}\)
\( \) \( = \frac{{2\sin x\cos y + 2\cos x\sin y - 2\cos x\sin y}}{{2\cos x\cos y}} \) \( = \frac{{2\sin x\cos y}}{{2\cos x\cos y}} \) \( = \tan x\)
Bài 3 trong sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 tập trung vào việc ứng dụng các kiến thức về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân vào giải quyết các bài toán thực tế. Nội dung bài tập thường xoay quanh việc xác định số hạng tổng quát, tính tổng của dãy số, và tìm các yếu tố liên quan đến cấp số cộng và cấp số nhân.
Bài 3 thường bao gồm một số câu hỏi nhỏ, mỗi câu hỏi yêu cầu học sinh thực hiện một thao tác cụ thể. Ví dụ, một câu hỏi có thể yêu cầu học sinh xác định xem một dãy số cho trước có phải là cấp số cộng hay cấp số nhân hay không. Một câu hỏi khác có thể yêu cầu học sinh tìm số hạng thứ n của một cấp số cộng hoặc cấp số nhân.
Để giải bài 3 trang 19 sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
Ví dụ: Cho cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 2 và công sai d = 3. Tìm số hạng thứ 5 của cấp số cộng này.
Giải:
Số hạng thứ n của cấp số cộng được tính theo công thức: un = u1 + (n - 1)d
Vậy, số hạng thứ 5 của cấp số cộng là: u5 = 2 + (5 - 1) * 3 = 2 + 12 = 14
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân, học sinh có thể tự giải thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 và các tài liệu tham khảo khác.
Bài 3 trang 19 sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh nắm vững kiến thức về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân. Bằng cách nắm vững các kiến thức cơ bản và áp dụng các phương pháp giải phù hợp, học sinh có thể tự tin giải quyết các bài tập tương tự và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
| Công thức | Mô tả |
|---|---|
| un = u1 + (n - 1)d | Số hạng thứ n của cấp số cộng |
| Sn = n/2 * (u1 + un) | Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng |
| un = u1 * q(n-1) | Số hạng thứ n của cấp số nhân |
| Sn = u1 * (1 - qn) / (1 - q) | Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (q ≠ 1) |
