Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 1 trang 45 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2. Bài viết này sẽ cung cấp cho các em phương pháp giải bài tập hiệu quả, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Giaitoan.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán. Hãy cùng chúng tôi khám phá lời giải bài tập này ngay bây giờ!
Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau:
Đề bài
Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = \sqrt {4x + 1} \) tại \(x = 2\);
b) \(f\left( x \right) = {x^4}\) tại \(x = - 1\);
c) \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x + 1}}\);
d) \(f\left( x \right) = \sqrt[3]{{{x^2} + 1}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về định nghĩa đạo hàm để tính: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại \({x_0}\), kí hiệu là \(f'\left( {{x_0}} \right)\) hoặc \(y'\left( {{x_0}} \right)\). Vậy \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
Lời giải chi tiết
a) Với bất kì \({x_0} \ge \frac{{ - 1}}{4}\) ta có: \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sqrt {4x + 1} - \sqrt {4{x_0} + 1} }}{{x - {x_0}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {\sqrt {4x + 1} - \sqrt {4{x_0} + 1} } \right)\left( {\sqrt {4x + 1} + \sqrt {4{x_0} + 1} } \right)}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {\sqrt {4x + 1} + \sqrt {4{x_0} + 1} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{4x + 1 - 4{x_0} - 1}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {\sqrt {4x + 1} + \sqrt {4{x_0} + 1} } \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{4\left( {x - {x_0}} \right)}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {\sqrt {4x + 1} + \sqrt {4{x_0} + 1} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{4}{{\left( {\sqrt {4x + 1} + \sqrt {4{x_0} + 1} } \right)}} = \frac{4}{{2\sqrt {4{x_0} + 1} }} = \frac{2}{{\sqrt {4{x_0} + 1} }}\)
Suy ra: \(f'\left( x \right) = \frac{2}{{\sqrt {4x + 1} }}\). Do đó, \(f'\left( 2 \right) = \frac{2}{{\sqrt {4.2 + 1} }} = \frac{2}{3}\)
b) Với bất kì \({x_0}\) ta có: \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^4} - x_0^4}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {{x^2} + x_0^2} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x + {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^2} + x_0^2} \right)\left( {x + {x_0}} \right) = \left( {x_0^2 + x_0^2} \right)\left( {{x_0} + {x_0}} \right) = 2x_0^2.2{x_0} = 4x_0^3\)
Do đó, \(f'\left( x \right) = 4{x^3}\). Suy ra \(f'\left( { - 1} \right) = 4.{\left( { - 1} \right)^3} = - 4\)
c) Với bất kì \({x_0} \ne - 1\) ta có: \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{{x_0} + 1}}}}{{x - {x_0}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x_0} + 1 - x - 1}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x_0} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - \left( {x - {x_0}} \right)}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x_0} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x_0} + 1} \right)}}\)
\( = - \frac{1}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\)
Vậy \(f'\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
d) Với bất kì \({x_0}\) ta có:
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sqrt[3]{{{x^2} + 1}} - \sqrt[3]{{x_0^2 + 1}}}}{{x - {x_0}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2} + 1}} - \sqrt[3]{{x_0^2 + 1}}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x_0^2 + 1} \right)}} + \sqrt[3]{{{{\left( {x_0^2 + 1} \right)}^2}}}} \right)}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x_0^2 + 1} \right)}} + \sqrt[3]{{{{\left( {x_0^2 + 1} \right)}^2}}}} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^2} + 1 - x_0^2 - 1}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x_0^2 + 1} \right)}} + \sqrt[3]{{{{\left( {x_0^2 + 1} \right)}^2}}}} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x + {x_0}} \right)}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x_0^2 + 1} \right)}} + \sqrt[3]{{{{\left( {x_0^2 + 1} \right)}^2}}}} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{x + {x_0}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x_0^2 + 1} \right)}} + \sqrt[3]{{{{\left( {x_0^2 + 1} \right)}^2}}}}} = \frac{{2{x_0}}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {x_0^2 + 1} \right)}^2}}}}}\)
Vậy \(f'\left( x \right) = \frac{{2x}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}}}\)
Bài 1 trang 45 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 thuộc chương trình học về phép biến hình. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm để giải quyết các bài toán thực tế. Việc hiểu rõ các tính chất và ứng dụng của các phép biến hình là vô cùng quan trọng để làm tốt bài tập này.
Bài 1 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải bài 1 trang 45 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2, chúng ta cần nắm vững các bước sau:
Ví dụ minh họa:
Giả sử đề bài yêu cầu tìm ảnh của điểm A(1; 2) qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (3; -1). Ta thực hiện phép tịnh tiến như sau:
A'(x'; y') = A(x; y) + v(a; b) = (1 + 3; 2 - 1) = (4; 1)
Vậy ảnh của điểm A(1; 2) qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (3; -1) là A'(4; 1).
Ngoài bài 1 trang 45, các em có thể tham khảo thêm các bài tập khác trong sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập. Bên cạnh đó, các em cũng có thể tìm kiếm các tài liệu tham khảo khác trên internet hoặc tại thư viện để mở rộng kiến thức về phép biến hình.
Bài 1 trang 45 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu rõ hơn về phép biến hình và ứng dụng của chúng trong hình học. Hy vọng với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, các em sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập và giải bài tập.
| Phép biến hình | Công thức |
|---|---|
| Phép tịnh tiến | A'(x'; y') = A(x; y) + v(a; b) = (x + a; y + b) |
| Phép quay | A'(x'; y') = Q(O, θ)(A(x; y)) |
| Phép đối xứng trục | A'(x'; y') = Đd(A(x; y)) |
| Phép đối xứng tâm | A'(x'; y') = ĐI(A(x; y)) |
