Bài 3.14 trang 39 sách bài tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho tam giác ABC có hai trung tuyến kẻ từ A và B vuông góc. Chứng minh rằng:
Đề bài
Cho tam giác \(ABC\) có hai trung tuyến kẻ từ \(A\) và \(B\) vuông góc. Chứng minh rằng:
a) \({a^2} + {b^2} = 5{c^2}.\)
b) \(\cot C = 2\left( {\cot A + cotB} \right).\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Sử dụng định lý Pi-ta-go để tính \({c^2}\) và tích chất trọng tâm
- Áp dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác
- Sử dụng định lý cosin và diện tích của tam giác
Lời giải chi tiết
a) \({a^2} + {b^2} = 5{c^2}.\)
Xét \(\Delta AGB\) vuông tại \(G\) có:
\(\begin{array}{l}{c^2} = A{B^2} = A{G^2} + B{G^2}\\{c^2} = {\left( {\frac{2}{3}AM} \right)^2} + {\left( {\frac{2}{3}BN} \right)^2}\\{c^2} = \frac{4}{9}\left( {\frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}} \right) + \frac{4}{9}\left( {\frac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4}} \right)\\{c^2} = \frac{4}{9}\left( {\frac{{{a^2} + {b^2} + 2{c^2}}}{2} - \frac{{{a^2} + {b^2}}}{4}} \right)\\{c^2} = \frac{4}{9}.\frac{{{a^2} + {b^2} + 4{c^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow \,\,9{c^2} = {a^2} + {b^2} + 4{c^2}\\ \Leftrightarrow \,\,{a^2} + {b^2} = 5{c^2}\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)
b) \(\cot C = 2\left( {\cot A + cotB} \right).\)
\(\begin{array}{l}\cot C = \frac{{\cos C}}{{\sin C}} = \frac{{\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}}}{{\frac{{2S}}{{ab}}}} = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4S}} = \frac{{{c^2}}}{S}\\2\left( {\cot A + \cot B} \right) = 2\left( {\frac{{\cos A}}{{\sin A}} + \frac{{\cos B}}{{\sin B}}} \right) = 2\left( {\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}} + \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{4S}}} \right) = \frac{{2.2{c^2}}}{{4S}} = \frac{{{c^2}}}{{S}}\\ \Rightarrow \,\,\cot C = 2\left( {\cot A + \cot B} \right)\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)
Bài 3.14 trang 39 sách bài tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài toán ứng dụng thực tế, đòi hỏi học sinh phải hiểu rõ về vectơ, các phép toán vectơ và cách áp dụng chúng vào giải quyết vấn đề. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết cách giải bài tập này:
Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Tìm vectơ AM theo hai vectơ AB và AC.
Để tìm vectơ AM theo hai vectơ AB và AC, ta sử dụng quy tắc trung điểm và tính chất của vectơ.
Vậy, vectơ AM = 1/2 vectơ AB + 1/2 vectơ AC.
Để củng cố kiến thức về vectơ và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, bạn có thể tham khảo các bài tập tương tự sau:
Phương pháp giải các bài tập này tương tự như bài 3.14, đó là sử dụng quy tắc trung điểm, tính chất của vectơ và các phép toán vectơ để biểu diễn các vectơ cần tìm theo các vectơ đã cho.
Vectơ không chỉ là một khái niệm trừu tượng trong toán học mà còn có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khác nhau như:
Bài 3.14 trang 39 sách bài tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về vectơ và các ứng dụng của nó. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các bạn học sinh sẽ tự tin giải bài tập và nắm vững kiến thức về vectơ.
Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán nhé!
