Bài 4.10 trang 51 sách bài tập Toán 10 thuộc chương trình Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về vectơ và ứng dụng trong hình học. Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập này.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những lời giải chính xác, đầy đủ và dễ tiếp cận nhất, giúp các em học sinh tự tin hơn trong quá trình học tập môn Toán.
Cho tam giác ABC. Gọi D,E,F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC,CA,AB.
Đề bài
Cho tam giác \(ABC.\) Gọi \(D,\,\,E,\,\,F\) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \(BC,\,\,CA,\,\,AB.\)
a) Xác định vectơ \(\overrightarrow {AF} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} \)
b) Xác định điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AF} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} = \overrightarrow {MA} .\)
c) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AB} .\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Chứng minh \(\overrightarrow {AF} = \overrightarrow {FB} ,\) \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {DC} \)
- Áp dụng quy tắc hình bình hành với hai vectơ \(\overrightarrow {CE} \) và \(\overrightarrow {CD} \)
- Chứng minh tứ giác \(ABCM\) là hình bình hành
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(DF\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {CE} = \overrightarrow {DF} \)
\( \Rightarrow \) tứ giác \(CDFE\) là hình bình hành.
Ta có: \(D\) và \(F\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AB\)
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AF} = \overrightarrow {FB} ,\) \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {DC} \)
Ta có: \(\overrightarrow {AF} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CE} = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {CF} + \overrightarrow {FB} = \overrightarrow {CB} \)
b) Theo câu a, ta có: \(\overrightarrow {AF} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} = \overrightarrow {CB} \)
mặt khác \(\overrightarrow {AF} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} = \overrightarrow {MA} .\)
nên \(\overrightarrow {CB} = \overrightarrow {MA} \)
\( \Rightarrow \) tứ giác \(ABCM\) là hình bình hành
\( \Rightarrow \) \(M\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(E\)
c) Theo câu b, ta có: tứ giác \(ABCM\) là hình bình hành
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AB} .\)
Bài 4.10 yêu cầu chúng ta sử dụng kiến thức về vectơ để chứng minh một đẳng thức vectơ liên quan đến trung điểm của các cạnh trong một hình bình hành. Để giải bài này, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, bao gồm:
Phân tích bài toán:
Để chứng minh đẳng thức vectơ, chúng ta thường sử dụng các quy tắc biến đổi vectơ, chẳng hạn như quy tắc cộng vectơ, quy tắc nhân vectơ với một số, và các tính chất của vectơ. Trong bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của trung điểm và các vectơ liên quan đến các cạnh của hình bình hành.
Lời giải chi tiết:
Gọi ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
Ta cần chứng minh: MP = NQ
Chứng minh:
MP = MA + AD + DP = -AM + AD + 1/2 DC = -1/2 AB + AD + 1/2 AB = AD
NQ = NB + BA + AQ = -BN - AB + 1/2 AD = -1/2 BC - AB + 1/2 AD = -1/2 AD - AB + 1/2 AD = -AB
Ta thấy MP = AD và NQ = -AB. Tuy nhiên, vì ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AB = DC. Do đó, MP ≠ NQ. Có vẻ như đề bài hoặc cách biểu diễn vectơ có vấn đề.
Lưu ý: Lời giải trên dựa trên giả định về cách đặt đỉnh của hình bình hành và cách biểu diễn các vectơ. Nếu có sự thay đổi trong cách đặt đỉnh hoặc biểu diễn vectơ, lời giải có thể khác.
Mở rộng:
Bài toán này có thể được mở rộng bằng cách thay đổi vị trí của các điểm M, N, P, Q trên các cạnh của hình bình hành. Ví dụ, chúng ta có thể xét trường hợp M, N, P, Q là các điểm chia các cạnh theo tỷ lệ khác nhau. Trong trường hợp này, chúng ta cần sử dụng các quy tắc biến đổi vectơ một cách linh hoạt hơn để tìm ra mối quan hệ giữa các vectơ.
Bài tập tương tự:
Để củng cố kiến thức về vectơ và ứng dụng trong hình học, các em có thể tự giải các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức. Ngoài ra, các em cũng có thể tìm kiếm các bài tập trực tuyến trên các trang web học toán uy tín.
Kết luận:
Bài 4.10 trang 51 sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về vectơ và ứng dụng trong hình học. Hy vọng rằng lời giải chi tiết trên sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về bài toán này và tự tin hơn trong quá trình học tập môn Toán.
