Bài 4.55 trang 69 sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về vectơ và ứng dụng trong hình học. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết các bài toán thực tế.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 4.55 trang 69, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 1,AC = 2. Lấy M,N,P tương ứng thuộc các cạnh BC,CA,AB sao cho 2BM = MC,CN = 2NA,AP = 2PB.
Đề bài
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 1,\,\,AC = 2.\) Lấy \(M,\,\,N,\,\,P\) tương ứng thuộc các cạnh \(BC,\,\,CA,\,\,AB\) sao cho \(2BM = MC,\,\,CN = 2NA,\,\,AP = 2PB.\) Giá trị của tích vô hướng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {NP} \) bằng
A. \(\frac{2}{3}\)
B. \( - \frac{1}{2}\)
C. \(0\)
D. \(1\)
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\frac{{CN}}{{CA}} = \frac{{CM}}{{CB}} = \frac{2}{3}\)
\( \Rightarrow \) \(MN\)//\(AB\) hay \(MN\)//\(AP\) (1)
Ta có: \(\frac{{BP}}{{BA}} = \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{1}{3}\)
\( \Rightarrow \) \(MP\)//\(AC\) hay \(MP\)//\(AN\) (2)
Ta có: \(AP = \frac{2}{3}AB = \frac{2}{3}.1 = \frac{2}{3}\) và \(AN = \frac{1}{3}AC = \frac{2}{3}\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) Tứ giác \(APMN\) là hình bình hành
Mặt khác \(\widehat {PAN} = {90^ \circ }\) và \(AP = AN = \frac{2}{3}\)
\( \Rightarrow \) tứ giác \(APMN\) là hình vuông
\( \Rightarrow \) \(AM \bot PN\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {NP} = 0\)
Chọn C
Bài 4.55 trang 69 sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức yêu cầu học sinh giải quyết một bài toán liên quan đến vectơ và ứng dụng trong hình học. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về vectơ, bao gồm:
Nội dung bài toán: (Giả sử bài toán cụ thể là: Cho tam giác ABC, tìm tập hợp các điểm M sao cho MA + MB = MC)
Để giải bài toán này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp vectơ. Ta sẽ biểu diễn các vectơ MA, MB, MC theo các vectơ vị trí của các điểm A, B, C và điểm M. Sau đó, ta sẽ sử dụng các phép toán vectơ để tìm điều kiện cần và đủ để phương trình MA + MB = MC được thỏa mãn.
Gọi A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC) và M(xM, yM) là tọa độ của các điểm A, B, C và M. Ta có:
MA = (xM - xA, yM - yA)
MB = (xM - xB, yM - yB)
MC = (xM - xC, yM - yC)
Theo đề bài, ta có MA + MB = MC, tức là:
(xM - xA, yM - yA) + (xM - xB, yM - yB) = (xM - xC, yM - yC)
Suy ra:
(2xM - xA - xB, 2yM - yA - yB) = (xM - xC, yM - yC)
Từ đó, ta có hệ phương trình:
2xM - xA - xB = xM - xC
2yM - yA - yB = yM - yC
Giải hệ phương trình này, ta được:
xM = (xA + xB - xC) / 2
yM = (yA + yB - yC) / 2
Vậy, tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện đề bài là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Bài 4.55 trang 69 sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức là một bài tập điển hình về ứng dụng của vectơ trong hình học. Việc nắm vững các kiến thức cơ bản về vectơ và phương pháp giải bài tập vectơ sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán tương tự một cách dễ dàng.
Để củng cố kiến thức về vectơ và ứng dụng trong hình học, các em học sinh có thể tham khảo các bài tập tương tự sau:
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về vectơ và ứng dụng trong hình học. Chúc các em học tập tốt!
