Bài 7.36 trang 47 sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về vectơ và ứng dụng trong hình học. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết các bài toán thực tế.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 7.36 trang 47, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho điểm M(x0;y0) thuộc elip (E) có phương trình
Đề bài
Cho điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc elip \(\left( E \right)\) có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)
a) Tính \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2\) theo \({x_0};{y_0}\). Từ đó tính \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2\) theo \({x_0};{y_0}\)
b) Tìm điểm M sao cho \(M{F_2} = 2M{F_1}\)
c) Tìm M sao cho góc nhìn của M tới hai điểm \({F_1},{F_2}\) (tức là góc \(\widehat {{F_1}M{F_2}}\)) là lớn nhất?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Phương trình Elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a > b > 0\) có hai tiêu điểm \({F_1}\left( { - c;0} \right),{F_2}\left( {c;0} \right)\)và có tiêu cự là \(2c\) với \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \)
Lời giải chi tiết
+ Trong phương trình chính tắc của \(\left( E \right)\) ta có \(a = \sqrt 2 ,b = 1,c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 1\) và hai tiêu điểm \({F_1}\left( { - 1;0} \right),{F_2}\left( {1;0} \right)\)
a) Ta có \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2 = {\left( {{x_0} + 1} \right)^2} + {y_0}^2 - \left[ {{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2} + {y_0}^2} \right] = 4{x_0}\)
+ Ta có \(M \in \left( E \right) \Rightarrow M{F_1} + M{F_2} = 2a = 2\sqrt 2 \) (1)
\( \Rightarrow M{F_1} - M{F_2} = \frac{{M{F_1}^2 - M{F_2}^2}}{{M{F_1}^2 + M{F_2}^2}} = \frac{{4{x_0}}}{{2\sqrt 2 }} = \sqrt 2 {x_0}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}M{F_1} = \sqrt 2 + \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}\\M{F_2} = \sqrt 2 - \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\)
b) Ta có: \(M{F_2} = 2M{F_1} \Rightarrow \sqrt 2 - \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }} = 2\left( {\sqrt 2 + \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}} \right) \Rightarrow \frac{{3{x_0}}}{{\sqrt 2 }} = - \sqrt 2 \Rightarrow {x_0} = - \frac{2}{3}\)
= \(M \in \left( E \right) \Rightarrow \frac{{{x_0}^2}}{2} + \frac{{{y_0}^2}}{1} \Rightarrow {y_0}^2 = 1 - \frac{{{x_0}^2}}{2} = 1 - \frac{{{{\left( { - \frac{2}{3}} \right)}^2}}}{2} = \frac{7}{9} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_0} = \frac{{\sqrt 7 }}{3}\\{y_0} = - \frac{{\sqrt 7 }}{3}\end{array} \right.\)
Vậy \(M\left( { - \frac{2}{3};\frac{{\sqrt 7 }}{3}} \right)\) hoặc \(M\left( { - \frac{2}{3}; - \frac{{\sqrt 7 }}{3}} \right)\)
c) Áp dụng định lý cosin trong tam giác \(M{F_1}{F_2}\):
\(cos\widehat {{F_1}M{F_2}} = \frac{{M{F_1}^2 + M{F_2}^2 - {F_1}^2{F_2}^2}}{{2M{F_1}.M{F_2}}} = \frac{{{{\left( {\sqrt 2 + \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 - \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} - {2^2}}}{{2\left( {\sqrt 2 + \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}} \right)\left( {\sqrt 2 - \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}} \right)}} = \frac{{{x_0}^2}}{{4 - {x_0}^2}}\)
+ Ta cos: \(\frac{{{x_0}^2}}{2} = 1 - {y_0}^2 \le 1 \Rightarrow 0 \le {x_0}^2 \le 2\)
\( \Rightarrow cos\widehat {{F_1}M{F_2}} \ge 0 \Rightarrow \widehat {{F_1}M{F_2}} \le {90^ \circ }\)
Dấu “=” xảy ra khi \({x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = \pm 1\)
Bài 7.36 trang 47 sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức thường liên quan đến việc xác định tọa độ của vectơ, tính độ dài vectơ, và thực hiện các phép toán vectơ như cộng, trừ, nhân với một số thực. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, bao gồm:
Trước khi bắt tay vào giải bài tập, học sinh cần đọc kỹ đề bài, xác định rõ các yếu tố đã cho và yêu cầu của bài toán. Sau đó, cần phân tích bài toán để tìm ra hướng giải quyết phù hợp. Thông thường, bài toán sẽ yêu cầu chúng ta:
Để cung cấp lời giải chi tiết, chúng ta cần biết nội dung cụ thể của bài 7.36. Giả sử bài toán yêu cầu tìm tọa độ của điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Khi đó, chúng ta có thể sử dụng tính chất của hình bình hành để giải quyết bài toán:
Tính chất của hình bình hành: Trong hình bình hành ABCD, ta có AB = DC và AD = BC. Ngoài ra, AB // DC và AD // BC.
Cách giải:
Giả sử A(1; 2), B(3; 4), C(5; 2). Tìm tọa độ của điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
Giải:
Vì ABCD là hình bình hành, ta có AB = DC và AB // DC. Do đó, xD - xC = xB - xA và yD - yC = yB - yA.
Thay các giá trị tọa độ của A, B, C vào, ta được:
xD - 5 = 3 - 1 => xD = 7
yD - 2 = 4 - 2 => yD = 4
Vậy, tọa độ của điểm D là (7; 4).
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về vectơ, học sinh nên luyện tập thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập và các tài liệu tham khảo khác. Ngoài ra, có thể tham khảo các bài giảng trực tuyến và các video hướng dẫn giải bài tập trên các trang web học toán online.
Bài 7.36 trang 47 sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về vectơ và ứng dụng trong hình học. Bằng cách nắm vững các khái niệm cơ bản, phân tích bài toán một cách cẩn thận, và áp dụng các tính chất của hình bình hành, học sinh có thể giải quyết bài tập này một cách hiệu quả.
