Bài 5.19 trang 65 sách bài tập Toán 9 - Kết nối tri thức tập 1 là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn để giải quyết các bài toán thực tế.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 5.19 trang 65, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài (O). Từ M kẻ tiếp tuyến MA với (O), trong đó A là tiếp điểm. Đường thẳng qua A và vuông góc với MO cắt (O) tại B (khác A). a) Chứng minh rằng MB là tiếp tuyến của (O); b) Tính OM và diện tích phần của tam giác AMB nằm bên ngoài (O), biết bán kính của (O) bằng 3cm và (widehat {MAB} = {60^o}).
Đề bài
Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài (O). Từ M kẻ tiếp tuyến MA với (O), trong đó A là tiếp điểm. Đường thẳng qua A và vuông góc với MO cắt (O) tại B (khác A).
a) Chứng minh rằng MB là tiếp tuyến của (O);
b) Tính OM và diện tích phần của tam giác AMB nằm bên ngoài (O), biết bán kính của (O) bằng 3cm và \(\widehat {MAB} = {60^o}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) + Gọi H là giao điểm của MO và AB. Do đó, MO vuông góc với AB tại H.
+ Chứng minh \(\Delta AOH = \Delta BOH\left( {ch - cgv} \right)\) nên \(\widehat {AOH} = \widehat {BOH}\).
+ Chứng minh \(\Delta AOM = \Delta BOM\left( {c - g - c} \right)\) nên \(\widehat {MAO} = \widehat {MBO} = {90^o}\) .
+ Suy ra \(MB \bot OB\) tại B. Do đó, MB là tiếp tuyến của (O)
b) + Chứng minh tam giác MAB cân tại M và \(\widehat {MAB} = {60^o}\) nên tam giác MAB đều, suy ra \(\widehat {AMB} = {60^o}\)
+ Ta có \(\widehat {AOB} + \widehat {OBM} + \widehat {BMA} + \widehat {MAO} = {360^o}\), từ đó tính được góc AOB và số đo cung nhỏ AB.
+ Tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB (\({S_q}\)).
+ Tính được \(\widehat {AMO} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = {60^o}\).
+ Tam giác MOA vuông tại A nên \(AM = AO.\tan \widehat {AMO}\).
+ Chứng minh \({S_{\Delta AMO}} = {S_{\Delta BMO}} = \frac{1}{2}OA.AM\), từ đó tính diện tích tứ giác AOBM (\({S_{AOBM}}\)).
+ Diện tích phần của tam giác AMB nằm bên ngoài (O) là: \(S = {S_{AOBM}} - {S_q}\).
Lời giải chi tiết
a) Gọi H là giao điểm của MO và AB. Do đó, MO vuông góc với AB tại H.
Tam giác AOH và tam giác BOH có:
OH chung, \(OA = OB\), \(\widehat {OHA} = \widehat {BHO} = {90^o}\)
nên \(\Delta AOH = \Delta BOH\left( {ch - cgv} \right)\)
nên \(\widehat {AOH} = \widehat {BOH}\) hay \(\widehat {AOM} = \widehat {BOM}\).
Tam giác AOM và tam giác BOM có:
OM chung, \(OA = OB\), \(\widehat {AOM} = \widehat {BOM}\)
nên \(\Delta AOM = \Delta BOM\left( {c - g - c} \right)\)
nên \(\widehat {MAO} = \widehat {MBO} = {90^o}\) .
Do đó, \(MB \bot OB\) tại B.
Do đó, MB là tiếp tuyến của (O).
b) Vì MA và MB là hai tiếp tuyến của (O) nên \(MA = MB\).
Do đó, tam giác MAB cân tại M.
Mà \(\widehat {MAB} = {60^o}\) nên tam giác MAB đều.
Do đó, \(\widehat {AMB} = {60^o}\).
Tứ giác AOBM có:
\(\widehat {AOB} + \widehat {OBM} + \widehat {BMA} + \widehat {MAO} = {360^o}\)
Suy ra:
\(\widehat {AOB} = {360^o} - \left( {\widehat {OBM} + \widehat {BMA} + \widehat {MAO}} \right) \\= {360^o} - \left( {{{90}^o} + {{90}^o} + {{60}^o}} \right) = {120^o}\)
Vì AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB nên sđ$\overset\frown{AB}$nhỏ \( = {120^o}\).
Do đó, diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB là:
\({S_q} = \frac{{120}}{{360}}.\pi {.3^2} = 3\pi \left( {c{m^2}} \right)\)
Vì MA và MB là hai tiếp tuyến của (O) nên OM là phân giác của góc AOB nên \(\widehat {AOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = {60^o}\).
Tam giác MOA vuông tại A nên
\(AM = AO.\tan \widehat {AOM} = 3.\tan {60^o} = 3\sqrt 3 \left( {cm} \right)\).
Vì \(\Delta AOM = \Delta BOM\left( {cmt} \right)\)
nên \({S_{\Delta AMO}} = {S_{\Delta BMO}} \) \(= \frac{1}{2}OA.AM = \frac{1}{2}.3.3\sqrt 3 \) \( = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}\left( {c{m^2}} \right)\).
Do đó diện tích tứ giác AOBM là:
\({S_{AOBM}} = 2{S_{\Delta AMO}} = 9\sqrt 3 \left( {c{m^2}} \right)\).
Vậy diện tích phần của tam giác AMB nằm bên ngoài (O) là:
\(S = {S_{AOBM}} - {S_q} = 9\sqrt 3 - 3\pi \left( {c{m^2}} \right)\).
Bài 5.19 sách bài tập Toán 9 - Kết nối tri thức tập 1 yêu cầu giải bài toán về việc tìm hai số khi biết tổng và hiệu của chúng. Đây là một dạng bài toán quen thuộc, thường xuất hiện trong các kỳ thi Toán 9. Để giải bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bài toán thường có dạng: Tìm hai số x và y biết:
Trong đó, S và D là các số cho trước.
Có nhiều phương pháp để giải hệ phương trình này, trong đó phổ biến nhất là phương pháp cộng đại số và phương pháp thế.
Cộng hai phương trình lại với nhau, ta được:
(x + y) + (x - y) = S + D
2x = S + D
x = (S + D) / 2
Thay giá trị của x vào một trong hai phương trình ban đầu, ta tìm được giá trị của y.
Ví dụ: y = S - x
Từ một trong hai phương trình, ta biểu diễn x theo y (hoặc y theo x). Sau đó, thay biểu thức này vào phương trình còn lại, ta được một phương trình chỉ chứa một ẩn. Giải phương trình này, ta tìm được giá trị của ẩn đó. Thay giá trị vừa tìm được vào biểu thức ban đầu, ta tìm được giá trị của ẩn còn lại.
Giả sử bài toán yêu cầu tìm hai số x và y biết x + y = 10 và x - y = 2. Ta có thể giải bài toán này như sau:
Sử dụng phương pháp cộng đại số:
2x = 10 + 2 = 12
x = 6
y = 10 - 6 = 4
Sử dụng phương pháp thế:
Từ x + y = 10, ta có x = 10 - y
Thay vào x - y = 2, ta được 10 - y - y = 2
10 - 2y = 2
2y = 8
y = 4
x = 10 - 4 = 6
Vậy, hai số cần tìm là x = 6 và y = 4.
Để rèn luyện kỹ năng giải bài toán này, các em có thể tự giải các bài tập tương tự sau:
Bài 5.19 trang 65 sách bài tập Toán 9 - Kết nối tri thức tập 1 là một bài tập quan trọng, giúp các em học sinh củng cố kiến thức về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em sẽ tự tin giải bài tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
Giaitoan.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán. Chúc các em học tập tốt!
