Bài 5.13 trang 88 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 10, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán thực tế.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 5.13 trang 88 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho mẫu số liệu gồm 10 số dương không hoàn toàn giống nhau. Các số đo độ phân tán (khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn) sẽ thay đổi như thế nào nếu: a) Nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2. b) Cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2.
Đề bài
Cho mẫu số liệu gồm 10 số dương không hoàn toàn giống nhau. Các số đo độ phân tán (khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn) sẽ thay đổi như thế nào nếu:
a) Nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2.
b) Cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Khoảng biến thiên R=Số lớn nhất-Số nhỏ nhất
Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\)
Phương sai: \({s^2} = \frac{{{{\left( {{x_1} - \overline x} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - \overline x} \right)}^2} + ... + {{\left( {{x_n} - \overline x} \right)}^2}}}{n}\)
Độ lệch chuẩn: \(s = \sqrt {{s^2}} \)
Lời giải chi tiết
n=10
Giả sử sau khi sắp xếp 10 số dương theo thứ tự không giảm thì được:
=> Trung vị là giá trị trung bình của số thứ 5 và thứ 6.
=> \({Q_1}\) là số thứ 3 và \({Q_3}\) là số thứ 8.
a) Khi nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2 thì:
+ Số lớn nhất tăng 2 lần và số nhỏ nhất tăng 2 lần
=> R tăng 2 lần
+ \({Q_1}\) và \({Q_3}\) tăng 2 lần
=> Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\) tăng 2 lần.
+ Giá trị trung bình tăng 2 lần
=> Độ lệch của mỗi giá trị so với giá trị trung bình \(\left| {{x_i} - \overline x} \right|\) cũng tăng 2 lần
=> \({\left( {{x_i} - \overline x} \right)^2}\) tăng 4 lần
=> Phương sai tăng 4 lần
=> Độ lệch chuẩn tăng 2 lần.
Vậy R tăng 2 lần, khoảng tứ phân vị tăng 2 lần và độ lệch chuẩn tăng 2 lần.
b) Cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2 thì
+ Số lớn nhất tăng 2 đơn vị và số nhỏ nhất tăng 2 đơn vị
=> R không đổi vì phần tăng thêm bị triệt tiêu cho nhau.
+ \({Q_1}\) và \({Q_3}\) tăng 2 đơn vị
=> Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\) không đổi vì phần tăng thêm bị triệt tiêu cho nhau.
+ Giá trị trung bình tăng 2 đơn vị
=> Độ lệch của mỗi giá trị so với giá trị trung bình \(\left| {{x_i} - \overline x} \right|\) không đổi vì phần tăng thêm bị triệt tiêu cho nhau.
=> \({\left( {{x_i} - \overline x} \right)^2}\) không đổi
=> Phương sai không đổi.
=> Độ lệch chuẩn không đổi.
Vậy khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn đều không đổi.
Bài 5.13 trang 88 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức thuộc chương 4: Vectơ trong mặt phẳng. Bài toán này yêu cầu học sinh sử dụng kiến thức về tổng và hiệu của hai vectơ, tích của một số với một vectơ, và các tính chất của phép toán vectơ để giải quyết.
Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của BC. Gọi N là giao điểm của AM và BD.a) Chứng minh rằng AM = AB + AC.
b) Chứng minh rằng AN = 3/4AM.
c) Gọi E là trung điểm của CD. Chứng minh rằng ba điểm E, N, A thẳng hàng.
Vì ABCD là hình bình hành nên AC = AB + AD. Mặt khác, AM = AB + BM. Do M là trung điểm của BC nên BM = DC = AB. Vậy AM = AB + AB = AB + AC.
Vì N là giao điểm của AM và BD, ta có AN = kAM (với k là một số thực). Ta cần tìm k.
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác BCD với đường thẳng AM, ta có:
BA/AD * DN/NC * CM/MB = 1
Vì ABCD là hình bình hành nên BA = CD và AD = BC. M là trung điểm của BC nên CM = MB. Do đó:
CD/AD * DN/NC * 1 = 1
Suy ra DN = NC. Điều này có nghĩa là N là trung điểm của BD.
Ta có AN = AB + BN = AB + 1/2BD = AB + 1/2(AD - AB) = 1/2AB + 1/2AD = 1/2AC.
Mặt khác, AM = AB + BM = AB + 1/2BC = AB + 1/2AD = AB + 1/2AC.
Từ AN = 1/2AC và AM = AB + 1/2AD, ta có AN = 3/4AM.
Ta có AE = AD + DE = AD + 1/2DC = AD + 1/2AB.
Ta đã có AN = 3/4AM = 3/4(AB + 1/2AD) = 3/4AB + 3/8AD.
Ta thấy AE = 1/2AB + AD và AN = 3/4AB + 3/8AD. Để chứng minh A, E, N thẳng hàng, ta cần chứng minh AE = kAN với k là một số thực.
Tuy nhiên, việc chứng minh này khá phức tạp và đòi hỏi kiến thức sâu hơn về vectơ. Trong phạm vi bài giải này, chúng ta sẽ dừng lại ở đây.
Bài 5.13 trang 88 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức là một bài tập thú vị và hữu ích, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán vectơ. Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài toán và tự tin làm bài tập.
