Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Vecto trong mặt phẳng tọa độ, một phần quan trọng trong chương trình Toán 10 Kết nối tri thức. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và cần thiết để hiểu rõ về vecto, các phép toán với vecto và ứng dụng của chúng trong giải quyết các bài toán hình học.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cam kết mang đến cho bạn những bài giảng chất lượng, dễ hiểu và nhiều bài tập thực hành để bạn có thể tự tin chinh phục môn Toán.
1. TỌA ĐỘ CỦA MỘT VECTO 2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTO
1. TỌA ĐỘ CỦA MỘT VECTO
+) Trên mặt phẳng, hệ trục gồm hai trục Ox, Oy vuông góc với nhau tại O được gọi là hệ trục tọa độ.
Mặt phẳng chứa hệ trục tọa độ Oxy gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy hay mặt phẳng Oxy.
+) Vecto đơn vị là vecto hướng là chiều dương, có độ dài bằng 1.
Quy ước: vecto đơn vị của trục Ox là \(\overrightarrow i \), vecto đơn vị của trục Oy là \(\overrightarrow j \). Điểm O gọi là gốc tọa độ, trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung.
+) Với mỗi vecto \(\overrightarrow u \) trên mặt phẳng Oxy, có duy nhất cặp số \(({x_0};{y_0})\) sao cho \(\overrightarrow u = {x_0}.\overrightarrow i + {y_0}.\overrightarrow j \)
Ta nói vecto \(\overrightarrow u \) có tọa độ \(({x_0};{y_0})\) và viết \(\overrightarrow u = ({x_0};{y_0})\) hoặc \(\overrightarrow u ({x_0};{y_0})\).
Các số \({x_0},{y_0}\) tương ứng được gọi là hoành độ, tung độ của \(\overrightarrow u \).
+) Hai vecto bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng tọa độ
\(\overrightarrow u (x;y) = \overrightarrow v (x';y') \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x'\\y = y'\end{array} \right.\)
2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTO
+) Cho hai vecto \(\overrightarrow u = (x;y)\) và \(\overrightarrow v = (x';y')\). Khi đó:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow u + \overrightarrow v = (x + x';y + y')\\\overrightarrow u - \overrightarrow v = (x - x';y - y')\\k\overrightarrow u = (kx;ky)\quad (k \in \mathbb{R})\end{array}\)
+) Vecto \(\overrightarrow v \;(x';y')\) cùng phương với vecto \(\overrightarrow u \;(x;y) \ne \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow \exists \;k \in \mathbb{R}:x' = kx,\;y' = ky\) hay \(\frac{{x'}}{x} = \frac{{y'}}{y}\) nếu \(xy \ne 0.\)
+) Điểm M có tọa độ \((x;y)\) thì vecto \(\overrightarrow {OM} \) có tọa độ \((x;y)\) và độ dài \(\left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)
+) Với hai điểm \(M(x;y)\) và \(N(x';y')\) thì \(\overrightarrow {MN} = (x' - x;y' - y)\)
Khoảng cách giữa hai điểm M, N là \(MN = \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{{(x' - x)}^2} + {{(y' - y)}^2}} \)
+) Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right)\)
+) Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)\)
Vecto là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong hình học giải tích. Hiểu rõ về vecto và các phép toán với vecto là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến hình học phẳng và không gian.
Một vecto là một đoạn thẳng có hướng. Nó được xác định bởi điểm gốc và điểm cuối. Vectơ thường được ký hiệu là AB, trong đó A là điểm gốc và B là điểm cuối.
Một vecto có các yếu tố sau:
Hai vecto được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và cùng độ dài. Ký hiệu: AB = CD.
Hai vecto được gọi là đối nhau nếu chúng có cùng độ dài nhưng ngược hướng. Ký hiệu: AB = -CD.
Vecto không là vecto có điểm gốc và điểm cuối trùng nhau. Ký hiệu: AA. Độ dài của vecto không bằng 0.
Trong mặt phẳng tọa độ, một vecto AB với A(xA, yA) và B(xB, yB) được biểu diễn bằng tọa độ:
AB = (xB - xA, yB - yA)
Vecto được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học và vật lý, bao gồm:
Bài 1: Cho A(1, 2) và B(3, 4). Tìm tọa độ của vecto AB.
Giải:AB = (3 - 1, 4 - 2) = (2, 2)
Bài 2: Cho AB = (1, -2) và CD = (-1, 2). So sánh hai vecto AB và CD.
Giải: Ta thấy AB = -CD, do đó AB và CD là hai vecto đối nhau.
Lý thuyết Vecto trong mặt phẳng tọa độ là một phần quan trọng của chương trình Toán 10. Việc nắm vững kiến thức về vecto và các phép toán với vecto sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán hình học và vật lý một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.
