Bài 5.9 trang 83 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 10. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán thực tế.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 5.9 trang 83 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Số lượng học sinh giỏi Quốc gia năm học 2016-2017 của 10 trường Trung học phổ thông được cho như sau: 0 0 4 0 0 0 10 0 6 0. a) Tìm số trung bình, mốt, các tứ phân vị của mẫu số liệu trên. b) Giải thích tại sao tứ phân vị thứ nhất và trung vị trùng nhau.
Đề bài
Số lượng học sinh giỏi Quốc gia năm học 2018-2019 của 10 trường Trung học phổ thông được cho như sau:
0 0 4 0 0 0 10 0 6 0.
a) Tìm số trung bình, mốt, các tứ phân vị của mẫu số liệu trên.
b) Giải thích tại sao tứ phân vị thứ nhất và trung vị trùng nhau.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a)
- Áp dụng công thức số trung bình của mẫu số liệu \({x_1},{x_2},...,{x_n}\):
\(\overline X = \dfrac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}}}{n}\)
- Số trung vị
+ Sắp xếp lại số liệu theo thứ tự không giảm.
+ Nếu số giá trị của mẫu số liệu là số lẻ thì giá trị chính giữa của mẫu là trung vị. Nếu là số chẵn thì trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa của mẫu.
- Mốt: Giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất.
- Tứ phân vị
+ Sắp xếp theo thứ tự không giảm.
+ Tìm trung vị. Giá trị này là \({Q_2}\)
+ Tìm trung vị của nửa số liệu bên trái \({Q_2}\), (không bao gồm \({Q_2}\), nếu n lẻ). Giá trị này là \({Q_1}\)
+ Tìm trung vị của nửa số liệu bên phải \({Q_2}\), (không bao gồm \({Q_2}\), nếu n lẻ). Giá trị này là\({Q_3}\)
b) Các tứ phân vị cho ta hình ảnh phân bố của mẫu số liệu. Cho biết mật độ tập trung của các mẫu số liệu. Khoảng cách giữa các tứ phân vị càng lớn thì mật độ tập trung càng thấp và ngược lại.
Lời giải chi tiết
a) Sắp xếp theo thứ tự không giảm:
0 0 0 0 0 0 0 4 6 10
Số trung bình: \(\overline X = \dfrac{{0.7 + 4 + 6 + 10}}{{10}} = 2\)
Trung vị: \({Q_2} = 0\)
+ Mốt: 0
Tứ phân vị:
+ Nửa bên trái của \({Q_2}\):
0 0 0 0 0
=>\({Q_1} = 0\)
+ Nửa bên phải của \({Q_2}\):
0 0 4 6 10
=>\({Q_3} = 4\)
b) Tứ phân vị thứ nhất và trung vị trùng nhau vì mật độ của mẫu số liệu tập trung hết ở nửa trái của trung vị, mẫu số liệu bên trái có số liệu bằng 0 hết.
Bài 5.9 trang 83 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức thuộc chương trình học về vectơ trong không gian. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về vectơ, bao gồm:
Dưới đây là đề bài chi tiết:
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính a)overrightarrow{AM}; b)overrightarrow{DM}; c)cos(overrightarrow{AMD}).
a) Tính overrightarrow{AM}
Ta có: overrightarrow{AM} =overrightarrow{AB} +overrightarrow{BM}. Vì M là trung điểm của BC nên overrightarrow{BM} = 1/2overrightarrow{BC}. Do đó:
overrightarrow{AM} =overrightarrow{AB} + 1/2overrightarrow{BC}. Vì ABCD là hình vuông nên overrightarrow{BC} =overrightarrow{AD}. Vậy:
overrightarrow{AM} =overrightarrow{AB} + 1/2overrightarrow{AD}
b) Tính overrightarrow{DM}
Ta có: overrightarrow{DM} =overrightarrow{DC} +overrightarrow{CM}. Vì M là trung điểm của BC nên overrightarrow{CM} = -1/2overrightarrow{BC}. Do đó:
overrightarrow{DM} =overrightarrow{DC} - 1/2overrightarrow{BC}. Vì ABCD là hình vuông nên overrightarrow{DC} = -overrightarrow{AB} và overrightarrow{BC} =overrightarrow{AD}. Vậy:
overrightarrow{DM} = -overrightarrow{AB} - 1/2overrightarrow{AD}
c) Tính cos(overrightarrow{AMD})
Ta có: overrightarrow{AD} =overrightarrow{AM} -overrightarrow{DM}. Thay các biểu thức overrightarrow{AM} và overrightarrow{DM} đã tính ở trên, ta được:
overrightarrow{AD} = (overrightarrow{AB} + 1/2overrightarrow{AD}) - (-overrightarrow{AB} - 1/2overrightarrow{AD}) = 2overrightarrow{AB} +overrightarrow{AD}
Suy ra: 2overrightarrow{AB} = 0, điều này không đúng. Cách tiếp cận này không chính xác. Ta cần tính cosin góc giữa hai vectơ overrightarrow{AM} và overrightarrow{DM}.
Sử dụng công thức tính tích vô hướng: overrightarrow{AM} .overrightarrow{DM} = |overrightarrow{AM}| . |overrightarrow{DM}| . cos(overrightarrow{AMD})
Ta có: |overrightarrow{AM}| = sqrt(AB^2 + BM^2) = sqrt(a^2 + (a/2)^2) = sqrt(5/4)a
|overrightarrow{DM}| = sqrt(DC^2 + CM^2) = sqrt(a^2 + (a/2)^2) = sqrt(5/4)a
overrightarrow{AM} .overrightarrow{DM} = (overrightarrow{AB} + 1/2overrightarrow{AD}) . (-overrightarrow{AB} - 1/2overrightarrow{AD}) = -AB^2 - 1/2AB.AD - 1/2AB.AD - 1/4AD^2 = -a^2 - a^2 - 1/4a^2 = -9/4a^2
Vậy: cos(overrightarrow{AMD}) = (-9/4a^2) / (sqrt(5/4)a . sqrt(5/4)a) = (-9/4a^2) / (5/4a^2) = -9/5
Vậy, a)overrightarrow{AM} =overrightarrow{AB} + 1/2overrightarrow{AD}; b)overrightarrow{DM} = -overrightarrow{AB} - 1/2overrightarrow{AD}; c)cos(overrightarrow{AMD}) = -9/5.
Hy vọng lời giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải bài tập vectơ trong không gian. Chúc các em học tốt!
