Bài 7.36 trang 59 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 10. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ và ứng dụng của vectơ trong hình học để giải quyết.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 7.36 trang 59 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập.
Cho hypebol có phương trình
Đề bài
Cho hypebol có phương trình: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
a) Tìm các giao điểm \({A_1},{A_2}\)của hypebol với trục hoành (hoành độ của \({A_1}\)nhỏ hơn của \({A_2}\)).
b) Chứng minh rằng, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì \(x \le - a\) , nêu điêm M(x, y) thuộc nhánh nằm bên phải trực tung của hypebol thì \(x \ge a\).
c) Tìm các điểm\({M_1},{M_2}\) tương ứng thuộc các nhánh bên trái, bên phải trực tung của hypebol để \({M_1}{M_2}\) nhỏ nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Tọa độ \({A_1},{A_2}\) thỏa mãn phương trình của \(\left( H \right)\) và \(y = 0\).
b) Sử dụng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} = 1 + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} \ge 1\)
c) \({M_1}{M_2} \ge \left| {{x_2} - {x_1}} \right| \ge \left| {a - \left( { - a} \right)} \right| = 2a\)
Lời giải chi tiết
a) Các giao điểm của \(\left( H \right)\) với trục hoành có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm a\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{A_1}\left( { - a;0} \right)\\{A_2}\left( {a;0} \right)\end{array} \right.\)
b) Với \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc (H) ta có \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} = 1 + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} \ge 1 \Rightarrow {x^2} \ge {a^2} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le - a\\x \ge a\end{array} \right.\)
Do đó nếu \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc bên trái trục tung khi thì \(x < 0\), suy ra \(x \le - a\).
Nếu \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc bên phải trục tung khi thì \(x > 0\), suy ra \(x \ge - a\).
c) Gọi \({M_1}\left( {{x_1};{y_1}} \right),{M_2}\left( {{x_2};{y_2}} \right)\). Vì \({M_1}\) thuộc nhánh bên trái trục tung nên ta có \({x_1} \le - a\),\({M_2}\) thuộc nhánh bên phải trục tung nên ta có \({x_2} \ge a\).
Suy ra \({M_1}{M_2} = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} \ge \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}+(0- 0)^2} = \left| {{x_2} - {x_1}} \right| \ge \left| {a - \left( { - a} \right)} \right| = 2a\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{y_2} - {y_1} = 0\\{x_2} = a\\{x_1} = - a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = a\\{x_1} = - a\\{y_1} = {y_2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{M_1}\left( { - a;0} \right)\\{M_2}\left( {a;0} \right)\end{array} \right.\)
Bài 7.36 trang 59 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức thuộc chương trình học về vectơ trong không gian. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về vectơ, bao gồm:
Bài tập 7.36 yêu cầu học sinh chứng minh một đẳng thức vectơ liên quan đến các điểm trong không gian. Cụ thể, cho hình chóp S.ABCD, chứng minh rằng: overrightarrow{SA} + vecoring{SB} + vecoring{SC} + vecoring{SD} = 4overrightarrow{SO} với O là trọng tâm của đáy ABCD.
Để chứng minh đẳng thức vectơ trên, ta sử dụng tính chất của trọng tâm và các phép toán vectơ. Cụ thể:
Chi tiết lời giải:
Gọi A(xA, yA, zA), B(xB, yB, zB), C(xC, yC, zC), D(xD, yD, zD) và S(xS, yS, zS). Vì O là trọng tâm của đáy ABCD, ta có:
overrightarrow{OA} = (xA - xO, yA - yO, zA - zO)
overrightarrow{OB} = (xB - xO, yB - yO, zB - zO)
overrightarrow{OC} = (xC - xO, yC - yO, zC - zO)
overrightarrow{OD} = (xD - xO, yD - yO, zD - zO)
overrightarrow{OS} = (xS - xO, yS - yO, zS - zO)
Khi đó:
overrightarrow{SA} = vecoring{OA} - vecoring{OS} = (xA - xS, yA - yS, zA - zS)
overrightarrow{SB} = vecoring{OB} - vecoring{OS} = (xB - xS, yB - yS, zB - zS)
overrightarrow{SC} = vecoring{OC} - vecoring{OS} = (xC - xS, yC - yS, zC - zS)
overrightarrow{SD} = vecoring{OD} - vecoring{OS} = (xD - xS, yD - yS, zD - zS)
Cộng các vectơ lại, ta được:
overrightarrow{SA} + vecoring{SB} + vecoring{SC} + vecoring{SD} = (xA + xB + xC + xD - 4xS, yA + yB + yC + yD - 4yS, zA + zB + zC + zD - 4zS)
Mặt khác, vì O là trọng tâm của đáy ABCD, ta có:
xO = (xA + xB + xC + xD) / 4
yO = (yA + yB + yC + yD) / 4
zO = (zA + zB + zC + zD) / 4
Suy ra:
4overrightarrow{SO} = 4(xO - xS, yO - yS, zO - zS) = (xA + xB + xC + xD - 4xS, yA + yB + yC + yD - 4yS, zA + zB + zC + zD - 4zS)
Vậy, overrightarrow{SA} + vecoring{SB} + vecoring{SC} + vecoring{SD} = 4overrightarrow{SO} (đpcm)
Giaitoan.edu.vn là website học Toán online uy tín, cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho các bài tập Toán từ lớp 6 đến lớp 12. Chúng tôi luôn cập nhật kiến thức mới nhất và phương pháp giải bài tập hiệu quả, giúp các em học sinh học Toán một cách dễ dàng và thú vị.
