Bài 7.35 trang 59 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 10. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ và ứng dụng của vectơ trong hình học để giải quyết vấn đề.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 7.35 trang 59 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập.
Cho elip (E):
Đề bài
Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\)
a) Tìm các giao điểm \({A_1},{A_2}\) của (E) với trục hoành và các giao điểm \({B_1},{B_2}\) của (E) với trục tung. Tính \({A_1}{A_2},{B_1}{B_2}\).
b) Xét một điểm bất kì \(M\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) thuộc (E).
Chứng minh rằng, \({b^2} \le x_o^2 + y_o^2 \le {a^2}\) và \(b \le OM \le a\).
Chú ý: \({A_1}{A_2},{B_1}{B_2}\)tương ứng được gọi là trục lớn, trục nhỏ của elip (E) và tương ứng có độ dài là 2a, 2b.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Tọa độ \({A_1},{A_2}\) thỏa mãn phương trình (E) và \(y = 0\). Tọa độ \({B_1},{B_2}\)thỏa mãn phương trình (E) và \(x = 0\).
b) Sử dụng tính chất \(a > b > 0\) và đẳng thức \(\frac{{x_o^2}}{{{a^2}}} + \frac{{y_o^2}}{{{b^2}}} = 1\).
Lời giải chi tiết
a) Các giao điểm của (E) với trục hoành có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \pm a\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{A_1}\left( { - a;0} \right)\\{A_2}\left( {a;0} \right)\end{array} \right.\)
Các giao điểm của (E) với trục tung có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\\x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = \pm b\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{B_1}\left( {0; - b} \right)\\{B_2}\left( {0;b} \right)\end{array} \right.\)
Ta có \({A_1}{A_2} = 2a,{B_1}{B_2} = 2b\).
b) Do M thuộc (E) nên ta có \(\frac{{x_o^2}}{{{a^2}}} + \frac{{y_o^2}}{{{b^2}}} = 1\)
Do \(a > b > 0\) nên ta có \(\frac{{x_o^2}}{{{a^2}}} \le \frac{{x_o^2}}{{{b^2}}}\). Suy ra \(1 \le \frac{{x_o^2}}{{{b^2}}} + \frac{{y_o^2}}{{{b^2}}} \Rightarrow {b^2} \le x_o^2 + y_o^2\)
Tương tự ta có \(\frac{{y_o^2}}{{{a^2}}} \le \frac{{y_o^2}}{{{b^2}}}\) nên \(1 \ge \frac{{y_o^2}}{{{a^2}}} \le \frac{{y_o^2}}{{{b^2}}} \Rightarrow {a^2} \ge x_o^2 + y_o^2\)
Vậy \({b^2} \le x_o^2 + y_o^2 \le {a^2}\)
Ta có \(OM = \sqrt {x_o^2 + y_o^2} \) suy ra \(b \le OM \le a\)
Bài 7.35 trang 59 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức thuộc chương trình học Toán 10, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán hình học. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, bao gồm:
Nội dung bài tập 7.35:
Bài tập yêu cầu chứng minh một đẳng thức vectơ liên quan đến các điểm và vectơ trong một hình bình hành. Cụ thể, cho hình bình hành ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh rằng: overrightarrow{OA} +overrightarrow{OB} =overrightarrow{OC} +overrightarrow{OD}.
Lời giải chi tiết:
Để chứng minh đẳng thức vectơ trên, ta có thể sử dụng các tính chất của hình bình hành và các phép toán vectơ. Cụ thể:
Phân tích và mở rộng:
Bài tập này không chỉ giúp học sinh củng cố kiến thức về vectơ mà còn rèn luyện kỹ năng suy luận logic và chứng minh toán học. Ngoài ra, bài tập còn có ứng dụng thực tế trong việc giải quyết các bài toán hình học phức tạp hơn.
Để hiểu rõ hơn về bài tập này, học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Các bài tập tương tự:
Để rèn luyện thêm kỹ năng giải bài tập về vectơ, học sinh có thể làm thêm các bài tập tương tự sau:
Kết luận:
Bài 7.35 trang 59 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về vectơ và rèn luyện kỹ năng giải bài tập. Hy vọng với lời giải chi tiết và dễ hiểu trên, các em học sinh sẽ nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài tập tương tự.
(Ở đây có thể chèn hình ảnh minh họa hình bình hành ABCD và các vectơ liên quan để giúp học sinh dễ hình dung hơn)
Khi giải bài tập về vectơ, học sinh cần chú ý đến các yếu tố sau:
Giaitoan.edu.vn luôn đồng hành cùng các em học sinh trên con đường chinh phục môn Toán. Chúc các em học tập tốt!