Bài 2.13 trang 32 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 10. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, phép toán vectơ để giải quyết các bài toán cụ thể.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 2.13 trang 32 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ
Đề bài
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y < 1\\2x - y \ge 3\end{array} \right.\) trên mặt phẳng tọa độ
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Biểu diễn các miền nghiệm của từng bất phương trình \(x + y < 1\) và \(2x - y \ge 3\)
Bước 1: Vẽ đường thẳng \(ax + by = c\)
Bước 2: Lấy điểm một điểm không thuộc đường thẳng \(ax + by = c\) và thay vào bất phương trình cần xác định miền nghiệm.
Bước 3: Nếu tọa độ điểm đó thỏa mãn bất phương trình thì miền nghiệm của bất phương trình chứa điểm đó.
Lời giải chi tiết
Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(x + y < 1\)
+ Vẽ đường thẳng d: x+y=1 (nét đứt) đi qua (0;1) và (1;0)
+ Vì 0+0=0 < 1 nên điểm O(0;0) thuộc miền nghiệm của bpt
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \(x + y < 1\) là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ O.
Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(2x - y \ge 3\)
+ Vẽ đường thẳng d’: \(2x - y = 3\) đi qua (1;-1) và (0;-3)
+ Vì 2.0-0=0
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \(2x - y \ge 3\) là nửa mặt phẳng bờ d’ không chứa gốc tọa độ O.
Vậy miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho (Không đường thẳng d’).
Bài 2.13 trang 32 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức thuộc chương 2: Vectơ trong mặt phẳng. Bài tập này tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về phép cộng, trừ vectơ, phép nhân vectơ với một số thực, và các tính chất của các phép toán này để giải quyết các bài toán hình học.
Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Gọi N là giao điểm của AM và BD.
Để giải bài tập này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của vectơ và hình bình hành.
Vì ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}. M là trung điểm của BC nên \overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}.
Ta có: \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}.
Vì N là giao điểm của AM và BD nên N thuộc AM và BD. Do đó, tồn tại số k sao cho \overrightarrow{AN} = k\overrightarrow{AM} và \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AN}.
Thay \overrightarrow{AN} = k\overrightarrow{AM} vào \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AN}, ta được: \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BA} + k\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{BA} + k(\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}) = k\overrightarrow{AB} + \frac{k}{2}\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = (k-1)\overrightarrow{AB} + \frac{k}{2}\overrightarrow{AD}.
Mặt khác, vì N thuộc BD nên \overrightarrow{BN} = t\overrightarrow{BD} với t là một số thực. Ta có: \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}. Do đó, \overrightarrow{BN} = t(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}) = -t\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AD}.
So sánh hai biểu thức của \overrightarrow{BN}, ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình này, ta được k = \frac{2}{3} và t = \frac{1}{3}. Vậy \overrightarrow{BN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BD}.
Từ kết quả trên, ta đã có k = \frac{2}{3}. Do đó, \overrightarrow{AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM}.
Vậy, ta đã chứng minh được \overrightarrow{BN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BD} và \overrightarrow{AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM}.
Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài 2.13 trang 32 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức và tự tin giải các bài tập tương tự. Giaitoan.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán!
