Bài 9.19 trang 88 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán lớp 10. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ và ứng dụng của vectơ trong hình học để giải quyết vấn đề.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 9.19 trang 88 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để: a) Tổng số chấm trên hai con xúc xắc bằng 8; b) Tổng số chấm trên hai con xúc xắc nhỏ hơn 8.
Đề bài
Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để:
a) Tổng số chấm trên hai con xúc xắc bằng 8;
b) Tổng số chấm trên hai con xúc xắc nhỏ hơn 8.
Lời giải chi tiết
Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) \ = {6^2}\; =36 \) .
a) Gọi A là biến cố: “Tổng số chấm trên hai con xúc xắc bằng 8”
Ta có \(A = \left\{ {\left( {2,6} \right);\left( {3,5} \right);\left( {4,4} \right);\left( {5,3} \right);\left( {6,2} \right)} \right\}\) suy ra \(n\left( A \right) = 5\)
Vậy xác suất của biến cố A là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{5}{{36}}\)
b) Gọi B là biến cố: “Tổng số chấm trên hai con xúc xắc nhỏ hơn 8”
Gọi C là biến cố: “Tổng số chấm trên hai con xúc xắc lớn hơn 8”
\(C = \left\{ {\left( {3;6} \right),\left( {4;5} \right),\left( {4;6} \right),\left( {5;4} \right),\left( {5;5} \right),\left( {5;6} \right),\left( {6;3} \right),\left( {6;4} \right),\left( {6;5} \right),\left( {6;6} \right)} \right\}\) suy ra \(n\left( C \right) = 10\)
Ta có: \(n\left( B \right) = n\left( \Omega \right) - n\left( A \right) - n\left( C \right) = 21\)
Vậy xác suất của biến cố B là \(P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{21}}{{36}} = \frac{7}{{12}}\).
Bài 9.19 trang 88 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức là một bài toán ứng dụng thực tế về vectơ trong hình học. Để giải bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về vectơ, bao gồm:
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. N là điểm thuộc cạnh CD sao cho DN = 1/2 DC. Gọi I là giao điểm của AM và BN. Tính độ dài đoạn thẳng AI.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tọa độ vectơ. Ta chọn hệ tọa độ Oxy với gốc O trùng với đỉnh A, trục Ox trùng với cạnh AD và trục Oy trùng với cạnh AB.
Với hệ tọa độ đã chọn, ta có:
Đường thẳng AM đi qua hai điểm A(0; 0) và M(a; a/2). Vector chỉ phương của AM là uAM = (a; a/2). Phương trình tham số của AM là:
x = at
y = (a/2)t
Đường thẳng BN đi qua hai điểm B(a; 0) và N(a/2; a). Vector chỉ phương của BN là uBN = (a/2 - a; a - 0) = (-a/2; a). Phương trình tham số của BN là:
x = a - (a/2)s
y = as
Giao điểm I của AM và BN thỏa mãn hệ phương trình:
at = a - (a/2)s
(a/2)t = as
Từ phương trình thứ hai, ta có t = 2s. Thay vào phương trình thứ nhất, ta được:
a(2s) = a - (a/2)s
2as = a - (a/2)s
(5/2)as = a
s = 2/5
Suy ra t = 2s = 4/5. Thay s = 2/5 vào phương trình tham số của BN, ta được:
xI = a - (a/2)(2/5) = a - a/5 = 4a/5
yI = a(2/5) = 2a/5
Vậy tọa độ của điểm I là I(4a/5; 2a/5).
Độ dài đoạn thẳng AI được tính bằng công thức:
AI = √((xI - xA)2 + (yI - yA)2)
AI = √((4a/5 - 0)2 + (2a/5 - 0)2)
AI = √((16a2/25) + (4a2/25))
AI = √(20a2/25)
AI = √(4a2/5)
AI = (2a)/√5 = (2a√5)/5
Vậy độ dài đoạn thẳng AI là (2a√5)/5.
Bài toán này có thể được giải bằng nhiều phương pháp khác nhau, chẳng hạn như sử dụng định lý Menelaus hoặc định lý Ceva. Tuy nhiên, phương pháp tọa độ vectơ thường được coi là phương pháp đơn giản và hiệu quả nhất.
