Chào mừng bạn đến với giaitoan.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập toán 9. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách giải bài 41 trang 121 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1 một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải toán đôi khi có thể gặp khó khăn, đặc biệt là với những bài tập đòi hỏi sự tư duy và vận dụng kiến thức. Vì vậy, chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những lời giải rõ ràng, chi tiết, kèm theo các giải thích cụ thể để bạn có thể hiểu rõ bản chất của bài toán.
Cho hai đường tròn (O; R) và (O; 2R). Một dây cung AB của đường tròn (O; 2R) tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại M. Kẻ tiếp tuyến thứ hai AN của đường tròn (O; R). Gọi S1 là diện tích của hình tạo bởi cung ACB và dây AB của đường tròn (O; 2R), S2 là diện tích của hình tạo bởi hai tiếp tuyến AM, AN và cung nhỏ MN của đường tròn (O; R) và S3 là diện tích của hình tròn (O; R) (Hình 45). Chứng minh S1 + S2 = S3.
Đề bài
Cho hai đường tròn (O; R) và (O; 2R). Một dây cung AB của đường tròn (O; 2R) tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại M. Kẻ tiếp tuyến thứ hai AN của đường tròn (O; R). Gọi S1 là diện tích của hình tạo bởi cung ACB và dây AB của đường tròn (O; 2R), S2 là diện tích của hình tạo bởi hai tiếp tuyến AM, AN và cung nhỏ MN của đường tròn (O; R) và S3 là diện tích của hình tròn (O; R) (Hình 45). Chứng minh S1 + S2 = S3.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1: Tính AM và góc AOM.
Bước 2: Tính AB và góc AOB (dựa vào \(\Delta OAM = \Delta OBM\)).
Bước 3: Tính góc MON.
Bước 4: Tính S1 = diện tích quạt tròn AOB – diện tích tam giác OAB.
Bước 5: Tính S2 = diện tích tam giác OAM + diện tích tam giác \(\Delta OAN\) - diện tích quạt tròn OMN.
Bước 5: Tính S1 + S2 rồi so sánh với S3.
Lời giải chi tiết
Vì AB tiếp xúc với (O;R) tại M nên AB là tiếp tuyến của (O;R), do đó \(OC \bot AB\) tại M hay \(\widehat {AMO} = \widehat {BMO} = 90^\circ \).
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác AMO vuông tại M có \(AM = \sqrt {A{O^2} - M{O^2}} = \sqrt {{{\left( {2R} \right)}^2} - {R^2}} = R\sqrt 3 \)
Ta lại có \(\cos \widehat {AOM} = \frac{{OM}}{{OA}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2}\) suy ra \(\widehat {AOM} = 60^\circ \).
Xét tam giác OAM và tam giác OBM có:
\(OA = OB\left( { = 2R} \right)\);
OM chung;
\(\widehat {AMO} = \widehat {BMO} = 90^\circ \)
Suy ra \(\Delta OAM = \Delta OBM\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Do đó \(AM = BM = \frac{{AB}}{2}\) và \(\widehat {AOM} = \widehat {BOM} = \frac{{\widehat {AOB}}}{2}\)
Suy ra \(AB = 2AM = 2R\sqrt 3 \) và \(\widehat {AOB} = 2\widehat {AOM} = 2.60^\circ = 120^\circ \).
Do AM, AN là 2 tiếp tuyến của (O;R) nên \(\widehat {AOM} = \widehat {AON} = \frac{{\widehat {MON}}}{2}\) hay \(\widehat {MON} = 2\widehat {AOM} = 2.60^\circ = 120^\circ \).
Xét tam giác OMA và tam giác ONA có:
OA chung;
\(OM = ON\left( { = R} \right)\);
\(AM = AN\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra \(\Delta OAM = \Delta OAN\)(c.c.c), nên \({S_{\Delta OAM}} = {S_{\Delta OAN}}\)
Ta có: S1 = diện tích quạt tròn AOB – diện tích \(\Delta OAB\)
Hay \({S_1} = \frac{{\pi {{\left( {2R} \right)}^2}n}}{{360}} - \frac{{OM.AB}}{2}\)\( = \frac{{\pi 4{R^2}.120}}{{360}} - \frac{{R.2R\sqrt 3 }}{2}\)\( = {R^2}\left( {\frac{{4\pi }}{3} - \sqrt 3 } \right)\)
S2 = diện tích \(\Delta OAM\) + diện tích tam giác \(\Delta OAN\) - diện tích quạt tròn OMN
Hay S2 = 2. diện tích \(\Delta OAM\) - diện tích quạt tròn OMN
Do đó \({S_2} = 2.\frac{{AM.OM}}{2} - \frac{{\pi {R^2}.n}}{{360}}\)\( = 2.\frac{{R\sqrt 3 .R}}{2} - \frac{{\pi {R^2}.120^\circ }}{{360}}\)\( = {R^2}\left( {\sqrt 3 - \frac{\pi }{3}} \right)\)
S3 = diện tích hình tròn (O;R) \( = \pi {R^2}\)
Ta có \({S_1} + {S_2} = {R^2}\left( {\frac{{4\pi }}{3} - \sqrt 3 } \right) + {R^2}\left( {\sqrt 3 - \frac{\pi }{3}} \right) = \pi {R^2} = {S_3}\) (đpcm)
Bài 41 trang 121 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1 thuộc chương trình học toán 9, tập trung vào việc ôn tập và củng cố kiến thức về hàm số bậc nhất. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến hàm số.
Bài 41 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải bài 41 trang 121 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1 một cách hiệu quả, bạn cần nắm vững các kiến thức sau:
Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết cho một số dạng bài tập thường gặp trong bài 41:
Ví dụ: Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b biết đồ thị của hàm số đi qua hai điểm A(1; 2) và B(-1; 0).
Giải: Thay tọa độ của hai điểm A và B vào phương trình y = ax + b, ta được hệ phương trình:
Giải hệ phương trình này, ta tìm được a = 1 và b = 1. Vậy hàm số bậc nhất cần tìm là y = x + 1.
Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y = 2x + 1 và y = -x + 4.
Giải: Để tìm giao điểm của hai đường thẳng, ta giải hệ phương trình:
Thay phương trình (2) vào phương trình (1), ta được: -x + 4 = 2x + 1. Giải phương trình này, ta tìm được x = 1. Thay x = 1 vào phương trình (2), ta được y = 3. Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là (1; 3).
Ví dụ: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h. Hãy viết hàm số biểu thị quãng đường đi được của ô tô theo thời gian t (t tính bằng giờ).
Giải: Quãng đường đi được của ô tô là s = vt, trong đó v là vận tốc và t là thời gian. Vì vận tốc của ô tô là 60 km/h, nên hàm số biểu thị quãng đường đi được của ô tô theo thời gian t là s = 60t.
Để củng cố kiến thức về hàm số bậc nhất và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, bạn có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1 và các tài liệu học tập khác. Ngoài ra, bạn cũng có thể tìm kiếm các bài giảng trực tuyến hoặc tham gia các khóa học toán 9 để được hướng dẫn chi tiết hơn.
Bài 41 trang 121 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh ôn tập và củng cố kiến thức về hàm số bậc nhất. Hy vọng rằng với hướng dẫn chi tiết này, bạn sẽ có thể giải bài tập một cách dễ dàng và hiệu quả. Chúc bạn học tốt!
