Chào mừng bạn đến với giaitoan.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập toán 9. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách giải bài 7 trang 36 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1 một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải toán đôi khi có thể gặp khó khăn, đặc biệt là với những bài tập đòi hỏi sự tư duy và vận dụng kiến thức. Vì vậy, chúng tôi luôn cố gắng trình bày lời giải một cách rõ ràng, logic và dễ tiếp thu nhất.
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh: a) \({a^2} + {b^2} + {c^2} < 2\left( {ab + bc + ca} \right)\) b) \(\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{b + c - a}} + \frac{1}{{c + a - b}} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\)
Đề bài
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh:
a) \({a^2} + {b^2} + {c^2} < 2\left( {ab + bc + ca} \right)\)
b) \(\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{b + c - a}} + \frac{1}{{c + a - b}} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng tính chất: Trong một tam giác, tổng độ dài 2 cạnh bất kì luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
Suy ra \({a^2} < a\left( {b + c} \right),{b^2} < b\left( {a + c} \right),{c^2} < c\left( {a + b} \right)\)
Cộng vế với vế ta được điêu cần chứng minh.
b) Chứng minh \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a - b}}\)
(xét hiệu \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{4}{{a + b}}\))
Suy ra \(\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{b + c - a}} \ge \frac{2}{b}\); \(\frac{1}{{b + c - a}} + \frac{1}{{c + a - b}} \ge \frac{2}{c}\) và \(\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{c + a - b}} \ge \frac{2}{a}\)
Do đó \(\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{b + c - a}} + \frac{1}{{c + a - b}} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\).
Lời giải chi tiết
a) Do \(a,b,c\)là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên \(a > 0,b > 0,c > 0,a + b > c,b + c > a,a + c > b\).
Suy ra \({a^2} < a\left( {b + c} \right),{b^2} < b\left( {a + c} \right),{c^2} < c\left( {a + b} \right)\)
Do đó \({a^2} + {b^2} + {c^2} < a\left( {b + c} \right) + b\left( {a + c} \right) + c\left( {a + b} \right)\)
Hay \({a^2} + {b^2} + {c^2} < 2\left( {ab + bc + ca} \right)\)
b) Chứng minh \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a - b}}\)
Xét hiệu
\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{4}{{a + b}}\)\( = \frac{{b\left( {a + b} \right) + a\left( {a + b} \right) - 4ab}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\)
\( = \frac{{{a^2} + {b^2} - 2ab}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\)\( = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\)
Với a,b dương, ta có \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0,ab \ge 0,\left( {a + b} \right) \ge 0\) suy ra \(\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}} \ge 0\) hay \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{4}{{a + b}}\)
Vậy \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}\)
Theo kết quả trên, ta có: \(\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{b + c - a}} \ge \frac{4}{{\left( {a + b - c} \right) + \left( {b + c - a} \right)}}\)
hay \(\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{b + c - a}} \ge \frac{2}{b}\)
Chứng minh tương tự, ta được \(\frac{1}{{b + c - a}} + \frac{1}{{c + a - b}} \ge \frac{2}{c}\) và \(\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{c + a - b}} \ge \frac{2}{a}\)
Do đó \(\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{b + c - a}} + \frac{1}{{c + a - b}} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\).
Bài 7 trang 36 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1 thuộc chương trình đại số, tập trung vào việc giải phương trình bậc hai một ẩn. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về phương trình bậc hai, bao gồm:
Nội dung bài 7 trang 36 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Giả sử bài 7 yêu cầu giải phương trình: 2x2 - 5x + 2 = 0
Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c
Trong phương trình trên, ta có: a = 2, b = -5, c = 2
Bước 2: Tính Δ (delta)
Δ = b2 - 4ac = (-5)2 - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9
Bước 3: Xác định số nghiệm của phương trình
Vì Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bước 4: Tính các nghiệm của phương trình
x1,2 = (-b ± √Δ) / 2a = (5 ± √9) / (2 * 2) = (5 ± 3) / 4
Vậy, x1 = (5 + 3) / 4 = 2 và x2 = (5 - 3) / 4 = 1/2
Kết luận: Phương trình 2x2 - 5x + 2 = 0 có hai nghiệm là x1 = 2 và x2 = 1/2
Ngoài sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1, bạn có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để học toán 9 hiệu quả:
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải bài 7 trang 36 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1 một cách hiệu quả. Chúc bạn học tốt!
