Bài 9.27 trang 57 sách bài tập toán 8 thuộc chương trình Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng áp dụng kiến thức về hình học đã học vào giải quyết các bài toán thực tế.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 9.27, giúp các em học sinh nắm vững phương pháp giải và tự tin hơn trong các bài kiểm tra.
Cho tứ giác ABCD như hình 9.6. Biết rằng \(AB = 2cm,AC = 4cm,AD = 8cm\) và AC là phân giác của góc BAD. Chứng minh \(CD = 2BC\)
Đề bài
Cho tứ giác ABCD như hình 9.6. Biết rằng \(AB = 2cm,AC = 4cm,AD = 8cm\) và AC là phân giác của góc BAD. Chứng minh \(CD = 2BC\)
Hình 9.6
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về định lý (trường hợp đồng dạng cạnh – góc – cạnh): Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.
Lời giải chi tiết
Tam giác ABC và tam giác ACD có:
\(\widehat {BAC} = \widehat {DAC}\) (vì AC là tia phân giác của góc DAB), \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{AD}}\left( {do\frac{2}{4} = \frac{4}{8}} \right)\)
Suy ra: $\Delta ABC\backsim \Delta \text{ACD}\left( c-g-c \right)$. Do đó, \(\frac{{BC}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{2}{4}\). Suy ra: \(CD = 2BC\)
Bài 9.27 yêu cầu chúng ta xét hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Chúng ta cần chứng minh rằng OA.OD = OB.OC. Đây là một bài toán điển hình về việc áp dụng tính chất của các tam giác đồng dạng.
Để chứng minh OA.OD = OB.OC, chúng ta cần tìm mối liên hệ giữa các đoạn thẳng này. Nhận thấy rằng tam giác OAB và tam giác OCD có các góc bằng nhau (do AB // CD), chúng ta có thể suy ra hai tam giác này đồng dạng.
Xét tam giác OAB và tam giác OCD, ta có:
Vậy, tam giác OAB đồng dạng với tam giác OCD theo trường hợp góc - góc - góc (AAA).
Do tam giác OAB đồng dạng với tam giác OCD, ta có tỉ lệ thức:
OA/OC = OB/OD
Suy ra: OA.OD = OB.OC (đpcm)
Bài toán này có thể được mở rộng bằng cách thay đổi giả thiết về hình thang, ví dụ như hình thang cân. Trong trường hợp đó, chúng ta có thể chứng minh thêm các tính chất khác của hình thang cân.
Các bài tập tương tự thường yêu cầu chúng ta áp dụng tính chất của tam giác đồng dạng để chứng minh các đẳng thức liên quan đến các đoạn thẳng trong hình thang hoặc các hình học khác.
Giả sử AB = 5cm, CD = 10cm. Tính tỉ số OA/AC. Vì OA.OD = OB.OC và tam giác OAB ~ OCD, ta có OA/OC = OB/OD = AB/CD = 5/10 = 1/2. Do đó, OA/AC = OA/(OA + OC) = OA/(OA + 2OA) = OA/3OA = 1/3.
Bài 9.27 trang 57 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về tính chất của tam giác đồng dạng và ứng dụng của nó trong giải quyết các bài toán hình học. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp các em học sinh đạt kết quả tốt trong môn toán.
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh đã có thể tự tin giải bài 9.27 và các bài tập tương tự. Chúc các em học tốt!
