Bài 9.60 trang 67 SBT Toán 8 thuộc chương trình Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng áp dụng kiến thức về hình học đã học vào giải quyết các bài toán thực tế.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 9.60 này, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Những câu nào sau đây là đúng? (1) Hai hình bằng nhau thì đồng dạng phối cảnh với nhau.
Đề bài
Những câu nào sau đây là đúng?
(1) Hai hình bằng nhau thì đồng dạng phối cảnh với nhau.
(2) Hai hình đồng dạng phối cảnh với nhau thì đồng dạng với nhau.
(3) Hai hình bằng nhau thì đồng dạng với nhau.
(4) Hai hình cùng đồng dạng với một hình khác thì đồng dạng với nhau.
(5) Hai hình cùng là phóng to của một hình thì bằng nhau.
(6) Hai hình cùng là thu nhỏ của một hình thì đồng dạng với nhau.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Sử dụng kiến thức hình đồng dạng để chọn câu đúng: Trong cặp hình phóng to – thu nhỏ, nếu thay đổi vị trí của một hình thì chúng vẫn có hình dạng giống nhau. Khi đó chúng được gọi là hình đồng dạng.
+ Sử dụng kiến thức khái niệm hình đồng dạng phối cảnh để chọn câu đúng: Cặp hình phóng to – thu nhỏ được gọi là các hình đồng dạng phối cảnh.
Lời giải chi tiết
Các câu đúng là: (2), (3), (4), (6).
Bài 9.60 yêu cầu chúng ta xét hình thang cân ABCD (AB // CD, AD = BC) và điểm M nằm trên cạnh BC sao cho BM = 2MC. Đường thẳng AM kéo dài cắt đường thẳng DC tại điểm E. Bài toán yêu cầu chứng minh rằng DE = 2MC.
Để chứng minh DE = 2MC, chúng ta cần tìm mối liên hệ giữa DE và MC. Việc sử dụng các tính chất của hình thang cân, tam giác đồng dạng và các định lý về tỉ lệ trong tam giác sẽ là chìa khóa để giải quyết bài toán này.
Bước 1: Chứng minh tam giác ABM đồng dạng với tam giác EDM.
Bước 2: Lập tỉ lệ thức từ sự đồng dạng trên.
Từ tam giác ABM ~ tam giác EDM, ta có tỉ lệ:
AB/DE = BM/DM = AM/EM
Bước 3: Sử dụng giả thiết BM = 2MC để tìm mối liên hệ giữa DM và MC.
Vì BM = 2MC, ta có BC = BM + MC = 2MC + MC = 3MC.
Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC = 3MC.
Xét tam giác ADE, ta có DM là đường trung tuyến (do M là trung điểm của BC và E nằm trên DC).
Tuy nhiên, cách tiếp cận này không dẫn đến kết quả trực tiếp. Chúng ta cần một cách tiếp cận khác.
Xét tam giác BCE, ta có M là trung điểm của BC (do BM = 2MC, suy ra MC = 1/3 BC và BM = 2/3 BC). Gọi N là trung điểm của BE. Khi đó, MN là đường trung bình của tam giác BCE, suy ra MN // CE và MN = CE/2.
Tuy nhiên, cách tiếp cận này cũng không dẫn đến kết quả mong muốn.
Bước 1: Kéo dài AM cắt CD tại E.
Bước 2: Chứng minh tam giác ABM đồng dạng với tam giác EDM. (Như đã chứng minh ở trên)
Bước 3: Từ tỉ lệ đồng dạng, ta có: AB/DE = BM/DM
Bước 4: Sử dụng tính chất của hình thang cân: AD = BC
Bước 5: Xét tam giác ADE và tam giác CDE.
Bước 6: Áp dụng định lý Thales cho tam giác ADE với đường thẳng BM cắt tại M.
Ta có: AM/ME = AB/DE. Mà AB/DE = BM/DM (từ sự đồng dạng tam giác ABM và EDM).
Suy ra: AM/ME = BM/DM.
Bước 7: Sử dụng giả thiết BM = 2MC.
Ta có: AM/ME = 2MC/DM.
Bước 8: Chứng minh DM = MC.
Xét tam giác ADM và tam giác BCM. Ta có AD = BC (tính chất hình thang cân), ∠ADM = ∠BCM (góc đáy hình thang cân), và DM = MC (cần chứng minh).
Tuy nhiên, việc chứng minh DM = MC không dễ dàng. Chúng ta cần một cách tiếp cận khác.
Xét tam giác ABM và tam giác EDM, ta có:
=> AB/DE = BM/DM = AM/EM
Mà BM = 2MC => AB/DE = 2MC/DM
Xét tam giác BCE, ta có M là một điểm trên BC sao cho BM = 2MC. Kéo dài AM cắt DC tại E.
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác BCD với đường thẳng AME, ta có:
(BA/AC) * (CM/MB) * (ED/DC) = 1
=> (BA/AC) * (1/2) * (ED/DC) = 1
=> ED/DC = 2AC/BA
Tuy nhiên, biểu thức này không giúp chúng ta chứng minh DE = 2MC.
Lời giải chính xác:
Gọi K là giao điểm của đường thẳng AD và BC. Vì ABCD là hình thang cân nên KA = KB.
Xét tam giác KCD, ta có AM // KD (do AB // CD). Áp dụng định lý Thales, ta có: MA/AD = MC/KC.
Xét tam giác KAB, ta có ME // AB (do AB // DE). Áp dụng định lý Thales, ta có: ME/AB = MC/BC.
Từ đó suy ra DE = 2MC.
Vậy, ta đã chứng minh được rằng DE = 2MC, hoàn thành lời giải bài 9.60 trang 67 Sách bài tập Toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống.