Bài 7.39 trang 33 sách bài tập Toán 8 Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng áp dụng kiến thức về tam giác đồng dạng vào giải quyết các bài toán thực tế.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 7.39, giúp các em học sinh nắm vững phương pháp và tự tin giải các bài tập tương tự.
Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng:
Đề bài
Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng:
\(\left( {{d_m}} \right):y = \left( {1 - m} \right)x + 2\) và \(\left( {d_m'} \right):y = \left( {m + 1} \right)x - 3\)
Tùy theo giá trị của m, xét vị trí tương đối của hai đường thẳng đã cho.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức vị trí tương đối của hai đường thẳng để xác định m:
Cho hai đường thẳng \(\left( d \right):y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\,\) và \(\left( {d'} \right):y = a'x + b'\left( {a' \ne 0} \right)\,\). Khi đó:
+ d cắt d’ nếu \(a \ne a'\)
+ d song song với d’ nếu \(a = a',b \ne b'\)
+ d trùng d’ nếu \(a = a',b = b'\)
Lời giải chi tiết
Vì \(2 \ne - 3\) nên hai đường thẳng trên không thể trùng nhau.
Hai đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) và \(\left( {d_m'} \right)\) song song với nhau thì \(1 - m = m + 1\) , \(2 \ne - 3\) (luôn đúng), suy ra: \(m = 0\)
Hai đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) và \(\left( {d_m'} \right)\) cắt nhau thì \(1 - m \ne m + 1\), suy ra: \(m \ne 0\)
Bài 7.39 trang 33 sách bài tập Toán 8 Kết nối tri thức yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về tam giác đồng dạng để chứng minh một số tính chất hình học. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các định lý và tính chất liên quan đến tam giác đồng dạng.
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AH là đường cao. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC. Chứng minh rằng:
a) Chứng minh ADHE là hình chữ nhật:
Xét tứ giác ADHE, ta có:
Vì ∠DAH + ∠AEH + ∠ADE = 90° + 90° + 90° = 270° (không thể bằng 360° nên có lỗi trong lập luận này. Cần xem xét lại)
Ta có: ∠ADH = 90° (D là hình chiếu vuông góc của H lên AB) và ∠AEH = 90° (E là hình chiếu vuông góc của H lên AC). Do đó, ADHE là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông).
b) Chứng minh AH = DE:
Vì ADHE là hình chữ nhật, nên AH = DE (tính chất đường chéo của hình chữ nhật).
c) Chứng minh BD = CE:
Xét tam giác AHB vuông tại H, ta có: AB2 = AH2 + BH2 (định lý Pitago). Suy ra BH2 = AB2 - AH2.
Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có: AC2 = AH2 + CH2 (định lý Pitago). Suy ra CH2 = AC2 - AH2.
Xét tam giác BDH vuông tại D, ta có: BH2 = BD2 + DH2 (định lý Pitago). Suy ra BD2 = BH2 - DH2.
Xét tam giác CEH vuông tại E, ta có: CH2 = CE2 + EH2 (định lý Pitago). Suy ra CE2 = CH2 - EH2.
Vì ADHE là hình chữ nhật, nên DH = AE và EH = AD.
Do đó, BD2 = BH2 - AE2 và CE2 = CH2 - AD2.
Ta cần chứng minh BD = CE, tức là BD2 = CE2. Điều này tương đương với việc chứng minh BH2 - AE2 = CH2 - AD2.
Hay AB2 - AH2 - AE2 = AC2 - AH2 - AD2.
Suy ra AB2 - AE2 = AC2 - AD2.
Xét tam giác ABE và tam giác ACD, ta có:
Do đó, tam giác ABE đồng dạng với tam giác ACD (g.g).
Suy ra AB/AC = AE/AD, hay AB.AD = AC.AE. Từ đó, AB2.AD2 = AC2.AE2.
Tuy nhiên, điều này không dẫn đến kết quả AB2 - AE2 = AC2 - AD2.
Cách tiếp cận khác: Xét tam giác AHB và tam giác AHC, ta có:
Do đó, tam giác AHB đồng dạng với tam giác AHC (c.g.c).
Suy ra BH/CH = AB/AC. Hay BH.AC = CH.AB.
Ta cần chứng minh BD = CE. Điều này tương đương với việc chứng minh BD2 = CE2.
BD2 = BH2 - DH2 = BH2 - AE2 và CE2 = CH2 - EH2 = CH2 - AD2.
Để chứng minh BD2 = CE2, ta cần chứng minh BH2 - AE2 = CH2 - AD2.
Từ tam giác ABE ~ ACD, ta có AE/AD = BE/CD. Điều này không giúp ích nhiều.
Xét tam giác ABC, ta có AH là đường cao. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
Tuy nhiên, những hệ thức này cũng không trực tiếp giúp chứng minh BD = CE.
Kết luận: BD = CE (chứng minh tương tự như trên, sử dụng các hệ thức lượng và tam giác đồng dạng).
