Giải bài 5.46 trang 35 SGK Toán 8 - Cùng khám phá

Giải bài 5.46 trang 35 SGK Toán 8 - Phương pháp giải và đáp án chi tiết

Bài 5.46 trang 35 SGK Toán 8 thuộc chương trình đại số lớp 8, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về hình chữ nhật để giải quyết các bài toán thực tế. Bài toán này yêu cầu học sinh phải hiểu rõ các tính chất của hình chữ nhật, đặc biệt là mối quan hệ giữa các cạnh đối và các góc đối.

Đề bài bài 5.46 trang 35 SGK Toán 8

Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E là trung điểm của cạnh AD. Trên đường thẳng BC lấy điểm F sao cho BF = 2FC. Gọi G là giao điểm của BE và DF. Chứng minh rằng: a) DG = GF; b) AG đi qua trung điểm của cạnh CD.

Phân tích bài toán

Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng các kiến thức về:

• Tính chất của hình chữ nhật: Các cạnh đối bằng nhau, các góc đối bằng nhau và bằng 90 độ.
• Tính chất của trung điểm: Trung điểm của một đoạn thẳng chia đoạn thẳng đó thành hai phần bằng nhau.
• Các định lý về tam giác đồng dạng: Nếu hai tam giác đồng dạng thì tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng bằng nhau.
• Các tính chất của đường thẳng song song và đường thẳng vuông góc.

Lời giải chi tiết bài 5.46 trang 35 SGK Toán 8

a) Chứng minh DG = GF

Xét tam giác ADE và tam giác CDF, ta có:

• AD = CF (vì ABCD là hình chữ nhật và BF = 2FC nên BC = BF + FC = 3FC, mà AD = BC nên AD = 3FC. Do E là trung điểm của AD nên AE = ED = AD/2 = 3FC/2. Vậy AE = CF)
• ∠ADE = ∠CDF = 90°
• DE = FC (chứng minh trên)

Do đó, tam giác ADE đồng dạng với tam giác CDF (cạnh góc vuông - cạnh góc vuông). Suy ra ∠DAE = ∠DCF.

Xét tam giác DEG và tam giác CFG, ta có:

• ∠DEG = ∠CFG (so le trong do DE // CF)
• ∠EDG = ∠FCG (chứng minh trên)

Do đó, tam giác DEG đồng dạng với tam giác CFG (góc - góc). Suy ra DG/GF = DE/CF = 1 (vì DE = CF). Vậy DG = GF.

b) Chứng minh AG đi qua trung điểm của cạnh CD

Gọi M là trung điểm của cạnh CD. Ta cần chứng minh A, G, M thẳng hàng.

Xét hệ tọa độ Oxy với A(0;b), B(a;b), C(a;0), D(0;0). Khi đó E(0;b/2) và F(a;2b/3).

Phương trình đường thẳng BE là: (y-b)/(x-a) = (b/2 - b)/(0-a) = (-b/2)/(-a) = b/(2a). Suy ra y = (b/(2a))(x-a) + b = (b/(2a))x + b/2.

Phương trình đường thẳng DF là: (y-0)/(x-0) = (2b/3 - 0)/(a-0) = 2b/(3a). Suy ra y = (2b/(3a))x.

Giải hệ phương trình:

{ y = (b/(2a))x + b/2y = (2b/(3a))x }

Ta có (b/(2a))x + b/2 = (2b/(3a))x. Suy ra (2b/(3a) - b/(2a))x = b/2. Hay (4b - 3b)/(6a)x = b/2. Vậy (b/(6a))x = b/2. Suy ra x = 3a.

Thay x = 3a vào y = (2b/(3a))x, ta được y = (2b/(3a))*3a = 2b.

Vậy G(3a; 2b).

M là trung điểm của CD nên M(a/2; 0).

Phương trình đường thẳng AM là: (y-b)/(x-0) = (0-b)/(a/2 - 0) = -2b/a. Suy ra y = (-2b/a)x + b.

Thay G(3a; 2b) vào phương trình AM, ta được 2b = (-2b/a)*3a + b = -6b + b = -5b. Điều này không đúng.

(Phần chứng minh AG đi qua trung điểm của CD cần xem xét lại cách giải, có thể sử dụng phương pháp vector hoặc các định lý hình học khác để chứng minh.)

Kết luận

Bài giải bài 5.46 trang 35 SGK Toán 8 đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức về hình chữ nhật, trung điểm và các định lý về tam giác đồng dạng. Việc hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng linh hoạt các kiến thức đã học sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán tương tự một cách hiệu quả.