Giải bài 7.21 trang 114 SGK Toán 8 - Cùng khám phá

Giải bài 7.21 trang 114 SGK Toán 8 - Phương pháp và Lời giải Chi Tiết

Bài 7.21 trang 114 SGK Toán 8 là một bài tập quan trọng, yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức về các góc trong một tam giác, đặc biệt là tổng ba góc trong một tam giác bằng 180 độ. Bài tập này thường xuất hiện trong các đề thi và kiểm tra, do đó việc hiểu rõ cách giải là vô cùng cần thiết.

Đề bài bài 7.21 trang 114 SGK Toán 8

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D là điểm nằm ngoài tam giác ABC sao cho DA vuông góc với AC và DB vuông góc với AB. Chứng minh rằng ba đường thẳng AD, BC, và AB cùng đi qua một điểm.

Phân tích bài toán

Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng kiến thức về các góc vuông, góc đối đỉnh, và các tính chất của đường thẳng song song. Việc vẽ hình chính xác và phân tích các mối quan hệ giữa các điểm và đường thẳng là bước quan trọng đầu tiên.

Lời giải chi tiết

Bước 1: Vẽ hình

Vẽ tam giác ABC vuông tại A. Vẽ điểm D sao cho DA vuông góc với AC và DB vuông góc với AB. Nối các điểm để có hình vẽ hoàn chỉnh.

Bước 2: Chứng minh AD và BC cắt nhau tại một điểm

Gọi E là giao điểm của AD và BC. Ta cần chứng minh rằng E là giao điểm của AD, BC và AB.

Vì DA vuông góc với AC nên góc DAC = 90 độ. Vì DB vuông góc với AB nên góc DBA = 90 độ.

Xét tứ giác ABDC, ta có: góc BAC = 90 độ, góc DAC = 90 độ, góc DBA = 90 độ. Do đó, tứ giác ABDC là một tứ giác có tổng bốn góc bằng 360 độ.

Bước 3: Chứng minh AB và DE cắt nhau tại một điểm (điểm E)

Ta có góc DAB + góc BAC + góc CAD = 180 độ. Vì góc BAC = 90 độ và góc CAD = 90 độ, suy ra góc DAB = 0 độ. Điều này không hợp lý, do đó cần xem xét lại cách tiếp cận.

Cách tiếp cận khác và lời giải hoàn chỉnh

Gọi O là giao điểm của AD và BC. Ta cần chứng minh rằng O nằm trên AB.

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có góc BAC = 90 độ. Vì DA vuông góc với AC nên góc DAC = 90 độ. Vì DB vuông góc với AB nên góc DBA = 90 độ.

Xét tam giác DAC và tam giác DBA, ta có:

• Góc DAC = góc DBA = 90 độ
• AD là cạnh chung
• AC = AB (vì tam giác ABC vuông cân tại A)

Do đó, tam giác DAC = tam giác DBA (cạnh góc vuông - cạnh góc vuông). Suy ra DC = DB và góc ADC = góc BDC.

Xét tam giác ADC và tam giác BDC, ta có:

• DC là cạnh chung
• Góc ADC = góc BDC
• AC = AB

Do đó, tam giác ADC = tam giác BDC (cạnh - góc - cạnh). Suy ra góc ACD = góc ABD.

Vì góc ACD + góc ACB = 90 độ và góc ABD + góc ABC = 90 độ, suy ra góc ACB = góc ABC. Do đó, tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A.

Gọi O là giao điểm của AD và BC. Ta có góc AOC = góc BOC (vì tam giác ADC = tam giác BDC). Do đó, AO là phân giác của góc BAC. Vì tam giác ABC vuông cân tại A, nên AO cũng là đường trung tuyến và đường cao của tam giác ABC.

Vậy, AD, BC và AB cùng đi qua một điểm.

Kết luận

Bài giải bài 7.21 trang 114 SGK Toán 8 đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc về các góc trong tam giác, các tính chất của đường thẳng và các dấu hiệu nhận biết tam giác bằng nhau. Việc luyện tập thường xuyên và áp dụng các phương pháp giải bài tập hiệu quả sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức và đạt kết quả tốt trong môn Toán.

Các bài tập tương tự

Để củng cố kiến thức, các em có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 8 và các tài liệu tham khảo khác.

Lưu ý khi giải bài tập

• Vẽ hình chính xác và đầy đủ.
• Phân tích bài toán một cách kỹ lưỡng.
• Sử dụng các kiến thức đã học để giải quyết bài toán.
• Kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong.