Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 9 tập 2 của giaitoan.edu.vn. Ở bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 2 trang 53, 54, 55 sách giáo khoa Toán 9 tập 2 - Cánh diều.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong học tập.
Giải các phương trình sau: a) ({left( {x - 2} right)^2} = 0) b) ({left( {x - 1} right)^2} = 9) c) ({left( {x - 3} right)^2} = - 1)
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 53 SGK Toán 9 Cánh diều
Giải các phương trình sau:
a) \({\left( {x - 2} \right)^2} = 0\)
b) \({\left( {x - 1} \right)^2} = 9\)
c) \({\left( {x - 3} \right)^2} = - 1\)
Phương pháp giải:
\({x^2} = a(a \ge 0)\)
\(x = a\) hoặc \(x = - a\)
Lời giải chi tiết:
a) \({\left( {x - 2} \right)^2} = 0\)
\(\begin{array}{l}x - 2 = 0\\x = 2\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 2\).
b) \({\left( {x - 1} \right)^2} = 9\)
\(x - 1 = 3\) hoặc \(x - 1 = - 3\)
\(x = 4\) \(x = - 2\)
Vậy phương trình có nghiệm là \({x_1} = 4;{x_2} = - 2\)
c) \({\left( {x - 3} \right)^2} = - 1\)
Vì \({(x - 3)^2} \ge 0\forall x \in R\) và \( - 1 < 0\) nên phương trình đã cho vô nghiệm.
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 54 SGK Toán 9 Cánh diều
Giải các phương trình:
a)\(3{x^2} - x - 0,5 = 0\)
b)\(4{x^2} + 10x + 15 = 0\)
c)\( - {x^2} + x - \frac{1}{4} = 0\)
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức nghiệm để giải phương trình với \(\Delta = {b^2} - 4ac\).
Nếu \(\Delta > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}};{x_1} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\)
Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}}.\)
Nếu \(\Delta < 0\) thì phương trình vô nghiệm.
Lời giải chi tiết:
a)\(3{x^2} - x - 0,5 = 0\)
Phương trình có các hệ số \(a = 3;b = - 1;c = - 0,5\)
\(\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.3.( - 0,5) = 7 > 0\)
Do \(\Delta > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là:
\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) - \sqrt 7 }}{{2.3}} = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{6};{x_2} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) + \sqrt 7 }}{{2.3}} = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{6}\)
b)\(4{x^2} + 10x + 15 = 0\)
Phương trình có các hệ số \(a = 4;b = 10;c = 15\)
\(\Delta = {10^2} - 4.4.15 = - 140 < 0\)
Do \(\Delta < 0\) nên phương trình vô nghiệm.
c)\( - {x^2} + x - \frac{1}{4} = 0\)
Phương trình có các hệ số \(a = - 1;b = 1;c = - \frac{1}{4}\)
\(\Delta = {1^2} - 4.\left( { - 1} \right).( - \frac{1}{4}) = 0\)
Do \(\Delta = 0\) nên phương trình có nghiệm kép là:
\({x_1} = {x_2} = \frac{{ - 1}}{{2.\left( { - 1} \right)}} = \frac{1}{2}\)
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 53 SGK Toán 9 Cánh diều
Xét phương trình \(2{x^2} - 4x - 16 = 0\) (1)
Chia 2 vế của phương trình (1), ta được phương trình \({x^2} - 2x - 8 = 0\) (2)
a) Tìm số thích hợp cho “?” khi biến đổi phương trình (2) về dạng: ${{\left( x-? \right)}^{2}}=?$.
b) Từ đó, hãy giải phương trình 2.
c) Nêu các nghiệm của phương trình (1).
Phương pháp giải:
Viết lại số hạng \(2x = 2.x.1\), phương trình (2) có dạng:
\(\begin{array}{l}{x^2} - 2.x.1 + 1 - 9 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} = 9\end{array}\)
Sau đó giải phương trình vừa tìm được.
Lời giải chi tiết:
a)
\(\begin{array}{l}{x^2} - 2x - 8 = 0\\\left( {{x^2} - 2.x.1 + 1} \right) - 9 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} = 9\end{array}\)
Vậy "?" thứ nhất là 1, "?" thứ hai là 9.
b) \({\left( {x - 1} \right)^2} = 9\)
\(x - 1 = 3\) hoặc \(x - 1 = - 3\)
\(x = 4\) \(x = - 2\)
Vậy phương trình có nghiệm là \({x_1} = 4\) và \({x_2} = - 2\)
c) \(2{x^2} - 4x - 16 = 0\)
\(\begin{array}{l}2\left( {{x^2} - 2x - 8} \right) = 0\\{x^2} - 2x - 8 = 0\end{array}\)
Từ phương trình (1) ta đưa được về phương trình (2), nên nghiệm của phương trình (2) chính là nghiệm của phương trình (1) là \({x_1} = 4\) và \({x_2} = - 2\).
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 53 SGK Toán 9 Cánh diều
Giải phương trình sau: \({\left( {x - 4} \right)^2} = 11\)
Phương pháp giải:
\({x^2} = a(a \ge 0)\)
\(x = a\) hoặc \(x = - a\)
Lời giải chi tiết:
\({\left( {x - 4} \right)^2} = 11\)
\(x - 4 = \sqrt {11} \) hoặc \(x - 4 = - \sqrt {11} \)
\(x = 4 + \sqrt {11} \) \(x = 4 - \sqrt {11} \)
Vậy phương trình có nghiệm là \({x_1} = 4 + \sqrt {11} \) và \({x_2} = 4 - \sqrt {11} \).
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 54 SGK Toán 9 Cánh diều
Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) với \(b = 2b'\).
a) Đặt \(\Delta ' = b{'^2} - ac\), chứng tỏ rằng \(\Delta = 4\Delta '.\)
b) Xét tính có nghiệm và nêu công thức nghiệm (nếu có) của phương trình trong các trường hợp: \(\Delta ' > 0;\Delta ' = 0;\Delta ' < 0.\)
Phương pháp giải:
a) Thay \(b = 2b'\) vào \(\Delta = {b^2} - 4ac\) rồi thu gọn.
b) Xét dấu của \(\Delta \) và \(\Delta '\).
Lời giải chi tiết:
a) Thay \(b = 2b'\)vào \(\Delta = {b^2} - 4ac\) ta được:
\(\Delta = {b^2} - 4ac = {(2b')^2} - 4ac = 4b{'^2} - 4ac = 4\left( {b{'^2} - ac} \right) = 4\Delta '\) (vì \(\Delta ' = b{'^2} - ac\))
\( \Rightarrow \) đpcm
b) Vì \(\Delta = 4\Delta ' \Rightarrow \Delta ' = \frac{\Delta }{4}\) nên \(\Delta \) và \(\Delta '\)cùng dấu. Vậy:
Nếu \(\Delta ' > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
\({x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a};{x_1} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}\)
Nếu \(\Delta ' = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \frac{{ - b'}}{a}.\)
Nếu \(\Delta ' < 0\) thì phương trình vô nghiệm.
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 56 SGK Toán 9 Cánh diều
Giải các phương trình:
a)\({x^2} - 6x - 5 = 0\)
b)\( - 3{x^2} + 12x - 35 = 0\)
c)\( - 25{x^2} + 30x - 9 = 0\)
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức nghiệm thu gọn để giải phương trình với \(b = 2b'\) và \(\Delta ' = b{'^2} - ac\).
Nếu \(\Delta ' > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
\({x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a};{x_1} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}\)
Nếu \(\Delta ' = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \frac{{ - b'}}{a}.\)
Nếu \(\Delta ' < 0\) thì phương trình vô nghiệm.
Lời giải chi tiết:
a)\({x^2} - 6x - 5 = 0\)
Phương trình có các hệ số \(a = 1;b = - 6;c = 5\). Do \(b = - 6\) nên \(b' = - 3\).
\(\Delta ' = {\left( { - 3} \right)^2} - 1.5 = 4 > 0\)
Do \(\Delta ' > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là:
\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) - \sqrt 4 }}{1} = 1;{x_2} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) + \sqrt 4 }}{1} = 5\)
b)\( - 3{x^2} + 12x - 35 = 0\)
Phương trình có các hệ số \(a = - 3;b = 12;c = - 35\). Do \(b = 12\) nên \(b' = 6\).
\(\Delta ' = {6^2} - \left( { - 3} \right).\left( { - 35} \right) = - 69 < 0\)
Do \(\Delta ' < 0\) nên phương trình vô nghiệm.
c)\( - 25{x^2} + 30x - 9 = 0\)
Phương trình có các hệ số \(a = - 25;b = 30;c = - 9\). Do \(b = 30\) nên \(b' = 15\).
\(\Delta ' = {15^2} - \left( { - 25} \right).( - 9) = 0\)
Do \(\Delta ' = 0\) nên phương trình có nghiệm kép là: \({x_1} = {x_2} = \frac{{ - 15}}{{ - 25}} = \frac{3}{5}\)
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 53 SGK Toán 9 Cánh diều
Giải các phương trình sau:
a) \({\left( {x - 2} \right)^2} = 0\)
b) \({\left( {x - 1} \right)^2} = 9\)
c) \({\left( {x - 3} \right)^2} = - 1\)
Phương pháp giải:
\({x^2} = a(a \ge 0)\)
\(x = a\) hoặc \(x = - a\)
Lời giải chi tiết:
a) \({\left( {x - 2} \right)^2} = 0\)
\(\begin{array}{l}x - 2 = 0\\x = 2\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 2\).
b) \({\left( {x - 1} \right)^2} = 9\)
\(x - 1 = 3\) hoặc \(x - 1 = - 3\)
\(x = 4\) \(x = - 2\)
Vậy phương trình có nghiệm là \({x_1} = 4;{x_2} = - 2\)
c) \({\left( {x - 3} \right)^2} = - 1\)
Vì \({(x - 3)^2} \ge 0\forall x \in R\) và \( - 1 < 0\) nên phương trình đã cho vô nghiệm.
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 53 SGK Toán 9 Cánh diều
Giải phương trình sau: \({\left( {x - 4} \right)^2} = 11\)
Phương pháp giải:
\({x^2} = a(a \ge 0)\)
\(x = a\) hoặc \(x = - a\)
Lời giải chi tiết:
\({\left( {x - 4} \right)^2} = 11\)
\(x - 4 = \sqrt {11} \) hoặc \(x - 4 = - \sqrt {11} \)
\(x = 4 + \sqrt {11} \) \(x = 4 - \sqrt {11} \)
Vậy phương trình có nghiệm là \({x_1} = 4 + \sqrt {11} \) và \({x_2} = 4 - \sqrt {11} \).
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 53 SGK Toán 9 Cánh diều
Xét phương trình \(2{x^2} - 4x - 16 = 0\) (1)
Chia 2 vế của phương trình (1), ta được phương trình \({x^2} - 2x - 8 = 0\) (2)
a) Tìm số thích hợp cho “?” khi biến đổi phương trình (2) về dạng: ${{\left( x-? \right)}^{2}}=?$.
b) Từ đó, hãy giải phương trình 2.
c) Nêu các nghiệm của phương trình (1).
Phương pháp giải:
Viết lại số hạng \(2x = 2.x.1\), phương trình (2) có dạng:
\(\begin{array}{l}{x^2} - 2.x.1 + 1 - 9 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} = 9\end{array}\)
Sau đó giải phương trình vừa tìm được.
Lời giải chi tiết:
a)
\(\begin{array}{l}{x^2} - 2x - 8 = 0\\\left( {{x^2} - 2.x.1 + 1} \right) - 9 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} = 9\end{array}\)
Vậy "?" thứ nhất là 1, "?" thứ hai là 9.
b) \({\left( {x - 1} \right)^2} = 9\)
\(x - 1 = 3\) hoặc \(x - 1 = - 3\)
\(x = 4\) \(x = - 2\)
Vậy phương trình có nghiệm là \({x_1} = 4\) và \({x_2} = - 2\)
c) \(2{x^2} - 4x - 16 = 0\)
\(\begin{array}{l}2\left( {{x^2} - 2x - 8} \right) = 0\\{x^2} - 2x - 8 = 0\end{array}\)
Từ phương trình (1) ta đưa được về phương trình (2), nên nghiệm của phương trình (2) chính là nghiệm của phương trình (1) là \({x_1} = 4\) và \({x_2} = - 2\).
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 54 SGK Toán 9 Cánh diều
Giải các phương trình:
a)\(3{x^2} - x - 0,5 = 0\)
b)\(4{x^2} + 10x + 15 = 0\)
c)\( - {x^2} + x - \frac{1}{4} = 0\)
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức nghiệm để giải phương trình với \(\Delta = {b^2} - 4ac\).
Nếu \(\Delta > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}};{x_1} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\)
Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}}.\)
Nếu \(\Delta < 0\) thì phương trình vô nghiệm.
Lời giải chi tiết:
a)\(3{x^2} - x - 0,5 = 0\)
Phương trình có các hệ số \(a = 3;b = - 1;c = - 0,5\)
\(\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.3.( - 0,5) = 7 > 0\)
Do \(\Delta > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là:
\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) - \sqrt 7 }}{{2.3}} = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{6};{x_2} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) + \sqrt 7 }}{{2.3}} = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{6}\)
b)\(4{x^2} + 10x + 15 = 0\)
Phương trình có các hệ số \(a = 4;b = 10;c = 15\)
\(\Delta = {10^2} - 4.4.15 = - 140 < 0\)
Do \(\Delta < 0\) nên phương trình vô nghiệm.
c)\( - {x^2} + x - \frac{1}{4} = 0\)
Phương trình có các hệ số \(a = - 1;b = 1;c = - \frac{1}{4}\)
\(\Delta = {1^2} - 4.\left( { - 1} \right).( - \frac{1}{4}) = 0\)
Do \(\Delta = 0\) nên phương trình có nghiệm kép là:
\({x_1} = {x_2} = \frac{{ - 1}}{{2.\left( { - 1} \right)}} = \frac{1}{2}\)
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 54 SGK Toán 9 Cánh diều
Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) với \(b = 2b'\).
a) Đặt \(\Delta ' = b{'^2} - ac\), chứng tỏ rằng \(\Delta = 4\Delta '.\)
b) Xét tính có nghiệm và nêu công thức nghiệm (nếu có) của phương trình trong các trường hợp: \(\Delta ' > 0;\Delta ' = 0;\Delta ' < 0.\)
Phương pháp giải:
a) Thay \(b = 2b'\) vào \(\Delta = {b^2} - 4ac\) rồi thu gọn.
b) Xét dấu của \(\Delta \) và \(\Delta '\).
Lời giải chi tiết:
a) Thay \(b = 2b'\)vào \(\Delta = {b^2} - 4ac\) ta được:
\(\Delta = {b^2} - 4ac = {(2b')^2} - 4ac = 4b{'^2} - 4ac = 4\left( {b{'^2} - ac} \right) = 4\Delta '\) (vì \(\Delta ' = b{'^2} - ac\))
\( \Rightarrow \) đpcm
b) Vì \(\Delta = 4\Delta ' \Rightarrow \Delta ' = \frac{\Delta }{4}\) nên \(\Delta \) và \(\Delta '\)cùng dấu. Vậy:
Nếu \(\Delta ' > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
\({x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a};{x_1} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}\)
Nếu \(\Delta ' = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \frac{{ - b'}}{a}.\)
Nếu \(\Delta ' < 0\) thì phương trình vô nghiệm.
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 56 SGK Toán 9 Cánh diều
Giải các phương trình:
a)\({x^2} - 6x - 5 = 0\)
b)\( - 3{x^2} + 12x - 35 = 0\)
c)\( - 25{x^2} + 30x - 9 = 0\)
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức nghiệm thu gọn để giải phương trình với \(b = 2b'\) và \(\Delta ' = b{'^2} - ac\).
Nếu \(\Delta ' > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
\({x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a};{x_1} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}\)
Nếu \(\Delta ' = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \frac{{ - b'}}{a}.\)
Nếu \(\Delta ' < 0\) thì phương trình vô nghiệm.
Lời giải chi tiết:
a)\({x^2} - 6x - 5 = 0\)
Phương trình có các hệ số \(a = 1;b = - 6;c = 5\). Do \(b = - 6\) nên \(b' = - 3\).
\(\Delta ' = {\left( { - 3} \right)^2} - 1.5 = 4 > 0\)
Do \(\Delta ' > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là:
\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) - \sqrt 4 }}{1} = 1;{x_2} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) + \sqrt 4 }}{1} = 5\)
b)\( - 3{x^2} + 12x - 35 = 0\)
Phương trình có các hệ số \(a = - 3;b = 12;c = - 35\). Do \(b = 12\) nên \(b' = 6\).
\(\Delta ' = {6^2} - \left( { - 3} \right).\left( { - 35} \right) = - 69 < 0\)
Do \(\Delta ' < 0\) nên phương trình vô nghiệm.
c)\( - 25{x^2} + 30x - 9 = 0\)
Phương trình có các hệ số \(a = - 25;b = 30;c = - 9\). Do \(b = 30\) nên \(b' = 15\).
\(\Delta ' = {15^2} - \left( { - 25} \right).( - 9) = 0\)
Do \(\Delta ' = 0\) nên phương trình có nghiệm kép là: \({x_1} = {x_2} = \frac{{ - 15}}{{ - 25}} = \frac{3}{5}\)
Mục 2 của chương trình Toán 9 tập 2 - Cánh diều tập trung vào việc ôn tập và hệ thống hóa kiến thức về hàm số bậc hai. Các bài tập trong mục này yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết các bài toán thực tế, đồng thời rèn luyện kỹ năng tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề.
Bài tập này yêu cầu học sinh xác định các yếu tố của hàm số bậc hai (a, b, c), tìm đỉnh của parabol, vẽ đồ thị hàm số và xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững định nghĩa hàm số bậc hai, các tính chất của parabol và cách vẽ đồ thị hàm số.
Bài tập này yêu cầu học sinh giải các phương trình bậc hai một ẩn bằng các phương pháp khác nhau (phân tích thành nhân tử, sử dụng công thức nghiệm, sử dụng định lý Vi-et). Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các phương pháp giải phương trình bậc hai và biết cách lựa chọn phương pháp phù hợp với từng bài toán.
Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về phương trình bậc hai để giải các bài toán thực tế liên quan đến các lĩnh vực khác nhau (vật lý, hình học, kinh tế,...). Để giải bài tập này, học sinh cần biết cách chuyển đổi bài toán thực tế thành bài toán toán học và sử dụng các kiến thức đã học để giải quyết bài toán.
Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết từng bài tập trong mục 2 trang 53, 54, 55 SGK Toán 9 tập 2 - Cánh diều:
Khi giải bài tập trong mục 2, học sinh cần lưu ý những điều sau:
Để học tốt môn Toán 9, học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Hy vọng rằng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ giải quyết thành công các bài tập trong mục 2 trang 53, 54, 55 SGK Toán 9 tập 2 - Cánh diều. Chúc các em học tập tốt!
