Logo Header
  1. Môn Toán
  2. Lý thuyết Bất đẳng thức Toán 9 Cánh diều

Lý thuyết Bất đẳng thức Toán 9 Cánh diều

Lý thuyết Bất đẳng thức Toán 9 Cánh diều: Nền tảng vững chắc cho thành công

Chào mừng bạn đến với bài học lý thuyết Bất đẳng thức Toán 9 Cánh diều tại giaitoan.edu.vn! Bất đẳng thức là một phần quan trọng trong chương trình Toán 9, giúp học sinh rèn luyện tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.

Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan về lý thuyết bất đẳng thức, bao gồm các định nghĩa, tính chất và ứng dụng quan trọng. Chúng tôi sẽ trình bày một cách dễ hiểu, kèm theo các ví dụ minh họa để bạn có thể nắm bắt kiến thức một cách nhanh chóng và hiệu quả.

1. Nhắc lại thứ tự trong tập hợp số thực Trong hai số khác nhau luôn có số này nhỏ hơn số kia.

1. Nhắc lại thứ tự trong tập hợp số thực

Trong hai số khác nhau luôn có số này nhỏ hơn số kia.

- Nếu số thực a nhỏ hơn số thực b thì ta viết \(a < b\) hay \(b > a\).

- Số thực lớn hơn 0 gọi là số thực dương.

- Số thực nhỏ hơn 0 gọi là số thực âm.

Ta có các kết quả:

- Trên trục số nằm ngang, nếu số thực a nằm bên trái số thực b thì \(a < b\) hay \(b > a\).

Lý thuyết Bất đẳng thức Toán 9 Cánh diều 1

- Tổng của hai số thực dương là số thực dương. Tổng của hai số thực âm là số thực âm.

- Với hai số thực a, b, ta có:

\(ab > 0\) thì a, b cùng dương hoặc cùng âm (hay a, b cùng dấu) và ngược lại:

\(ab < 0\) thì a, b trái dấu và ngược lại.

- Với a, b là hai số thực dương, nếu \(a > b\) thì \(\sqrt a > \sqrt b \).

2. Bất đẳng thức

Khái niệm bất đẳng thức

Ta gọi hệ thức dạng \(a > b\) (hay \(a < b\), \(a \ge b\), \(a \le b\)) là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức.

Chú ý:

Hai bất đẳng thức \(a < b\) và \(c < d\) (hay \(a > b\) và \(c > d\)) được gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều.

Hai bất đẳng thức \(a < b\) và \(c > d\) (hay \(a > b\) và \(c < d\)) được gọi là hai bất đẳng thức ngược chiều.

Tính chất của bất đẳng thức

Với hai số thực a và b, ta có:

- Nếu \(a > b\) thì \(a - b > 0\). Ngược lại, nếu \(a - b > 0\) thì \(a > b\).

- Nếu \(a < b\) thì \(a - b < 0\). Ngược lại, nếu \(a - b < 0\) thì \(a < b\).

- Nếu \(a \ge b\) thì \(a - b \ge 0\). Ngược lại, nếu \(a - b \ge 0\) thì \(a \ge b\).

- Nếu \(a \le b\) thì \(a - b \le 0\). Ngược lại, nếu \(a - b \le 0\) thì \(a \le b\).

Nhận xét: Do khẳng định nêu trên, để chứng minh \(a > b\), ta có thể chứng minh \(a - b > 0\) hoặc chứng minh \(b - a < 0\).

Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Nếu \(a < b\) thì \(a + c < b + c\).

Nếu \(a > b\) thì \(a + c > b + c\).

Nếu \(a \le b\) thì \(a + c \le b + c\).

Nếu \(a \ge b\) thì \(a + c \ge b + c\).

Ví dụ:Vì \(2023 < 2024\) nên \(2023 + \left( { - 19} \right) < 2024 + \left( { - 19} \right)\)

Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Với ba số a, b, c mà c > 0, ta có:

- Nếu \(a < b\) thì \(ac < bc\).

- Nếu \(a > b\) thì \(ac > bc\).

- Nếu \(a \le b\) thì \(ac \le bc\).

- Nếu \(a \ge b\) thì \(ac \ge bc\).

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Với ba số a, b, c và c < 0, ta có:

Nếu \(a < b\) thì \(ac > bc\).

Nếu \(a > b\) thì \(ac < bc\).

Nếu \(a \le b\) thì \(ac \ge bc\).

Nếu \(a \ge b\) thì \(ac \le bc\).

Ví dụ:

Vì \( - 7 < - 5\) và \(3 > 0\) nên \(3.\left( { - 7} \right) < 3.\left( { - 5} \right)\).

Vì \( - 7 < - 5\) và \( - 3 < 0\) nên \(\left( { - 3} \right).\left( { - 7} \right) > \left( { - 3} \right).\left( { - 5} \right)\).

Tính chất bắc cầu của bất đẳng thức

Nếu \(a > b\) và \(b > c\) thì \(a > c\).

Ví dụ: Vì \(\frac{{2024}}{{2023}} = 1 + \frac{1}{{2023}} > 1\) và \(\frac{{2021}}{{2022}} = 1 - \frac{1}{{2022}} < 1\) nên \(\frac{{2024}}{{2023}} > \frac{{2021}}{{2022}}\).

Lý thuyết Bất đẳng thức Toán 9 Cánh diều 2

Làm chủ Toán 9, tự tin vào phòng thi! Đừng bỏ lỡ Lý thuyết Bất đẳng thức Toán 9 Cánh diều đặc sắc thuộc chuyên mục sgk toán 9 trên nền tảng toán. Với bộ bài tập toán thcs được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình sách giáo khoa mới nhất, đây chính là công cụ đắc lực giúp các em tối ưu hóa ôn luyện, củng cố kiến thức vững chắc và thuần thục mọi dạng bài thi khó nhằn. Phương pháp học trực quan, khoa học sẽ mang lại hiệu quả vượt trội, giúp con bạn chinh phục mọi thử thách một cách dễ dàng.

Lý thuyết Bất đẳng thức Toán 9 Cánh diều: Tổng quan

Bất đẳng thức là một biểu thức toán học so sánh hai giá trị, sử dụng các ký hiệu >, <, ≥, ≤, ≠. Trong chương trình Toán 9, học sinh sẽ được làm quen với các loại bất đẳng thức cơ bản và các phương pháp giải bất đẳng thức.

Các loại bất đẳng thức thường gặp

  • Bất đẳng thức một ẩn: Bất đẳng thức chứa một ẩn số, ví dụ: 2x + 3 > 5.
  • Bất đẳng thức hai ẩn: Bất đẳng thức chứa hai ẩn số, ví dụ: x + y < 10.
  • Bất đẳng thức tích: Bất đẳng thức chứa tích của các biểu thức, ví dụ: (x - 1)(x + 2) > 0.

Các tính chất của bất đẳng thức

  1. Tính chất bắc cầu: Nếu a > b và b > c thì a > c.
  2. Tính chất cộng: Nếu a > b thì a + c > b + c.
  3. Tính chất trừ: Nếu a > b thì a - c > b - c.
  4. Tính chất nhân:
    • Nếu a > b và c > 0 thì ac > bc.
    • Nếu a > b và c < 0 thì ac < bc.

Các quy tắc biến đổi bất đẳng thức

Để giải bất đẳng thức, chúng ta cần sử dụng các quy tắc biến đổi bất đẳng thức một cách hợp lý:

  • Quy tắc cộng (hoặc trừ) hai vế: Cộng (hoặc trừ) cùng một số vào cả hai vế của bất đẳng thức.
  • Quy tắc nhân (hoặc chia) hai vế: Nhân (hoặc chia) cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương. Khi nhân (hoặc chia) cả hai vế với một số âm, cần đổi chiều bất đẳng thức.

Ứng dụng của bất đẳng thức

Bất đẳng thức có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

  • Giải bài toán tìm tập nghiệm: Tìm các giá trị của ẩn số thỏa mãn bất đẳng thức.
  • Chứng minh bất đẳng thức: Sử dụng các tính chất và quy tắc để chứng minh một bất đẳng thức đúng.
  • Giải bài toán thực tế: Áp dụng bất đẳng thức để giải các bài toán liên quan đến các đại lượng thực tế.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải bất đẳng thức 2x + 3 > 5

Giải:

  1. 2x + 3 > 5
  2. 2x > 5 - 3
  3. 2x > 2
  4. x > 1

Vậy tập nghiệm của bất đẳng thức là x > 1.

Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức a2 + b2 ≥ 2ab với mọi số thực a và b.

Giải:

Ta có: (a - b)2 ≥ 0 với mọi số thực a và b.

Khai triển biểu thức, ta được: a2 - 2ab + b2 ≥ 0

Suy ra: a2 + b2 ≥ 2ab (đpcm)

Bài tập luyện tập

  1. Giải các bất đẳng thức sau:
    • 3x - 1 ≤ 8
    • 5 - 2x > 1
  2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
    • a2 + 1 ≥ 2a
    • b2 + 4 ≥ 4b

Kết luận

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về lý thuyết Bất đẳng thức Toán 9 Cánh diều. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài toán liên quan.

Tài liệu, đề thi và đáp án Toán 9