Lý thuyết Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Toán 9 Cánh diều

Lý thuyết Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Toán 9 Cánh diều

Trong hình học phẳng, việc xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn là một vấn đề cơ bản và quan trọng. Nó là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến đường tròn và đường thẳng, cũng như để hiểu sâu hơn về các tính chất hình học.

1. Các khái niệm cơ bản

Trước khi đi vào lý thuyết, chúng ta cần nắm vững một số khái niệm cơ bản:

• Đường tròn: Tập hợp tất cả các điểm cách một điểm cố định (tâm) một khoảng không đổi (bán kính).
• Đường thẳng: Đường thẳng là một đường không có điểm đầu, điểm cuối, và nằm trên một mặt phẳng.
• Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Độ dài đoạn vuông góc hạ từ điểm đó xuống đường thẳng.

2. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Có ba trường hợp vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một đường tròn:

1. Đường thẳng không cắt đường tròn: Trong trường hợp này, khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng lớn hơn bán kính của đường tròn (d > r).
2. Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn: Trong trường hợp này, khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn (d = r). Điểm tiếp xúc là điểm nằm trên cả đường thẳng và đường tròn, và là điểm gần tâm đường tròn nhất trên đường thẳng.
3. Đường thẳng cắt đường tròn: Trong trường hợp này, khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng nhỏ hơn bán kính của đường tròn (d < r). Đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.

3. Cách xác định vị trí tương đối

Để xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định tâm đường tròn (O) và bán kính (r).
2. Xác định phương trình đường thẳng (d).
3. Tính khoảng cách (d) từ tâm đường tròn (O) đến đường thẳng (d). Công thức tính khoảng cách từ điểm (x₀, y₀) đến đường thẳng Ax + By + C = 0 là: d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)
4. So sánh khoảng cách (d) với bán kính (r):
• Nếu d > r: Đường thẳng không cắt đường tròn.
• Nếu d = r: Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.
• Nếu d < r: Đường thẳng cắt đường tròn.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đường tròn (C) có tâm O(0,0) và bán kính r = 5. Đường thẳng d có phương trình x + y - 7 = 0. Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng d và đường tròn (C).

Giải:

Khoảng cách từ O(0,0) đến đường thẳng d: x + y - 7 = 0 là:

d = |1*0 + 1*0 - 7| / √(1² + 1²) = 7 / √2 ≈ 4.95

Vì d < r (4.95 < 5), nên đường thẳng d cắt đường tròn (C).

Ví dụ 2: Cho đường tròn (C) có tâm O(2,1) và bán kính r = 3. Đường thẳng d có phương trình 3x - 4y + 2 = 0. Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng d và đường tròn (C).

Giải:

Khoảng cách từ O(2,1) đến đường thẳng d: 3x - 4y + 2 = 0 là:

d = |3*2 - 4*1 + 2| / √(3² + (-4)²) = |6 - 4 + 2| / √25 = 4 / 5 = 0.8

Vì d < r (0.8 < 3), nên đường thẳng d cắt đường tròn (C).

5. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập sau:

• Bài 1: Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng x - 2y + 1 = 0 và đường tròn (x-1)² + (y+2)² = 9.
• Bài 2: Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng d: y = mx + 1 tiếp xúc với đường tròn (x-2)² + y² = 4.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về lý thuyết vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn trong chương trình Toán 9 Cánh diều. Chúc bạn học tốt!