Chào mừng bạn đến với bài giải Bài 3 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều trên giaitoan.edu.vn. Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết, chính xác, giúp bạn hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những tài liệu học tập chất lượng cao, hỗ trợ bạn học toán hiệu quả nhất. Hãy cùng khám phá lời giải Bài 3 trang 109 ngay bây giờ!
Cho tứ diện ABCD. Lấy ({G_1},{G_2},{G_3})lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB.
Đề bài
Cho tứ diện ABCD. Lấy \({G_1},{G_2},{G_3}\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB.
a) Chứng minh rằng \(({G_1}{G_2}{G_3})//(BCD)\).
b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \(({G_1}{G_2}{G_3})\) với mặt phẳng \((ABD)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thằng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).
Lời giải chi tiết
a) Gọi M, N, P là trung điểm của BC, CD, BD.
Ta có: \({G_1}\) là trọng tâm tam giác ABC, suy ra\(\frac{{A{G_1}}}{{AM}} = \frac{2}{3}\).
\({G_3}\) là trọng tâm tam giác ABD, suy ra\(\frac{{A{G_3}}}{{AP}} = \frac{2}{3}\).
Suy ra tam giác AMP có\(\frac{{A{G_1}}}{{AM}} = \frac{{A{G_3}}}{{AP}}\) nên \({G_1}{G_3}//MP\).
Mà MP thuộc (BCD) nên \({G_1}{G_3}//(BCD)\).
Tương tự ta có: \({G_2}{G_3}//(BCD)\).
Do đó, \({G_1}{G_2}{G_3}//(BCD)\).
b) 
Ta có: B, D cùng thuộc hai mặt phẳng (ABD) và (BCD) nên \(\left( {ABD} \right) \cap \left( {BCD} \right) = BD\)
Giả sử \(\left( {ABD} \right) \cap \left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right) = d\).
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)//(BCD)\\(ABD) \cap (BCD) = BD\\(ABD) \cap \left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right) = d\end{array} \right.\)
Suy ra d//BD.
Mà \({G_3} \in ({G_1}{G_2}{G_3})\) nên \({G_3}\) là giao điểm của \(({G_1}{G_2}{G_3})\) và (ABD).
Do đó giao tuyến d của hai mặt phẳng \(({G_1}{G_2}{G_3})\) và (ABD) đi qua \({G_3}\) và song song với BD, cắt AB, AD lần lượt tại I và K.
Vậy \(({G_1}{G_2}{G_3}) \cap (ABD) = IK\).
Bài 3 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về vectơ trong không gian để giải quyết các bài toán hình học. Bài toán này yêu cầu học sinh hiểu rõ các khái niệm về vectơ, phép cộng, trừ vectơ, tích của một số với vectơ, và đặc biệt là ứng dụng của vectơ trong việc chứng minh các tính chất hình học.
Bài 3 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải quyết hiệu quả Bài 3 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều, bạn có thể áp dụng các phương pháp sau:
Bài toán: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh rằng vectơ AM = 1/2 vectơ AB.
Giải:
Vì M là trung điểm của cạnh AB, theo định nghĩa trung điểm, ta có:
AM = MB
Mà AB = AM + MB
Suy ra AB = AM + AM = 2AM
Do đó, AM = 1/2 AB (đpcm)
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về vectơ, bạn có thể luyện tập thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều và các tài liệu tham khảo khác. Hãy chú trọng vào việc hiểu rõ bản chất của các khái niệm và quy tắc, đồng thời rèn luyện kỹ năng vẽ hình và phân tích bài toán.
Bài 3 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp bạn nắm vững kiến thức về vectơ và ứng dụng của nó trong hình học. Bằng cách áp dụng các phương pháp giải bài tập hiệu quả và luyện tập thường xuyên, bạn sẽ tự tin giải quyết mọi bài toán liên quan đến vectơ.
| Khái niệm | Giải thích |
|---|---|
| Vectơ | Một đoạn thẳng có hướng. |
| Phép cộng vectơ | Quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc tam giác. |
| Tích của một số với vectơ | Làm thay đổi độ dài của vectơ. |
