Chào mừng bạn đến với bài học lý thuyết quan trọng nhất trong chương trình Hình học không gian lớp 11 - Lý thuyết Đường thẳng và Mặt phẳng trong không gian theo sách SGK Toán 11 Cánh Diều. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và cần thiết để giải quyết các bài toán liên quan đến vị trí tương quan giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cam kết mang đến cho bạn những bài giảng được trình bày một cách dễ hiểu, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập thực hành đa dạng để bạn có thể nắm vững kiến thức một cách hiệu quả nhất.
I. Khái niệm mở đầu
I. Khái niệm mở đầu
1. Mặt phẳng
Hình ảnh mặt phẳng trong thực tiễn
- Biểu diễn một mặt phẳng: Người ta thường biểu diễn mặt phẳng bằng một hình bình hành.
- Để kí hiệu mặt phẳng ta dùng chữ cái in hoa đặt trong dấu ngoặc ( ).
2. Điểm thuộc mặt phẳng
- Điểm A thuộc mặt phẳng (P), ta kí hiệu \(A \in (P)\)
- Điểm A không thuộc mặt phẳng (P) ta kí hiệu \(A \notin (P)\).
3. Hình biểu diễn của một hình trong không gian
a, Khái niệm
Hình được vẽ trong mặt phẳng để giúp ta hình dung được về một hình trong không gian gọi là hình biểu diễn của hình không gian đó.
b, Quy tắc vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian
- Đường thẳng được biểu diễn bởi đường thẳng, đoạn thẳng được biểu diễn bởi đoạn thẳng.
- Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) được biểu diễn bởi 2 đường thẳng song song (hoặc cắt nhau).
- Hình biểu diễn giữ nguyên quan hệ liên thuộc giữa điểm và đường thẳng.
- Dùng nét liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn để biểu diễn cho đường bị che khuất.
II. Các tính chất thừa nhận của hình học không gian
- Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
- Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng.
- Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó.
- Nếu mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mặt phẳng (P) thì ta nói d nằm trong (P) hoặc (P) chứa d. Kí hiệu \(d \subset (P)\) hoặc \((P) \supset d\).
- Tồn tại 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
- Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì các điểm chung của hai mặt phẳng là một đường thẳng đi qua điểm chung đó. Đường thẳng đó được gọi là giao tuyến, kí hiệu \(d = (P) \cap (Q)\).
- Trên mỗi mặt phẳng, tất cả các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.
III. Một số cách xác định mặt phẳng
Cho điểm \(A \notin d\). Khi đó qua điểm A và đường thẳng d có một và chỉ một mặt phẳng. Kí hiệu mp(A,d) hoặc (A,d).
Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau. Khi đó, qua a và b có một và chỉ một mặt phẳng, kí hiệu mp(a,b).
IV. Hình chóp và hình tứ diện
1. Hình chóp
- Trong mặt phẳng (P), cho đa giác \({A_1}{A_2}...{A_n}\) \(\left( {n \ge 3} \right)\) . Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (P). Nối S với các đỉnh \({A_1},{A_2},...,{A_n}\)để được n tam giác \(S{A_1}{A_2},S{A_2}{A_3},...,S{A_n}{A_1}\). Hình gồm đa giác \({A_1}{A_2}...{A_n}\) và n tam giác \(S{A_1}{A_2},S{A_2}{A_3},...,S{A_n}{A_1}\) được gọi là hình chóp và kí hiệu là \(S.{A_1}{A_2}...{A_n}\).
- Trong hình chóp \(S.{A_1}{A_2}...{A_n}\):
+ Điểm S được gọi là đỉnh.
+ Đa giác\({A_1}{A_2}...{A_n}\) được gọi là mặt đáy.
+ Các tam giác \(S{A_1}{A_2},S{A_2}{A_3},...,S{A_n}{A_1}\)được gọi là các mặt bên
+ Các cạnh \(S{A_1},S{A_2},...,S{A_n}\)được gọi là cạnh bên; các cạnh\({A_1}{A_2},{A_2}{A_3}...,{A_n}{A_1}\) được gọi là các cạnh đáy.
Nếu đáy của hình chóp là một tam giác, tứ giác, ngũ giác,…thì hình chóp tương ứng gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,…
2. Hình tứ diện
Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm 4 tam giác ABC, ABD, ACD và BCD được gọi là hình tứ diện, kí hiệu là ABCD.
Trong đó, các điểm A, B, C, D được gọi các đỉnh của tứ diện, các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, BD,AC được gọi là cạnh của tứ diện; các tam giác ABC, ABD, ACD và BCD gọi là mặt của tứ diện.
Hai cạnh không có đỉnh chung được gọi là hai cạnh đối diện, đỉnh không nằm trên một mặt gọi là đỉnh đối diện với mặt đó.
Chương trình Hình học không gian trong Toán 11 đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển tư duy không gian và khả năng giải quyết vấn đề của học sinh. Một trong những chủ đề cốt lõi của chương này là Lý thuyết Đường thẳng và Mặt phẳng trong không gian, được trình bày chi tiết trong SGK Toán 11 Cánh Diều.
Để hiểu rõ về mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản sau:
Trong không gian, hai đường thẳng có thể có một trong ba vị trí tương quan sau:
Để xác định vị trí tương quan giữa hai đường thẳng, ta thường sử dụng các phương pháp sau:
Một đường thẳng trong không gian có thể có một trong ba vị trí tương quan sau so với một mặt phẳng:
Để xác định vị trí tương quan giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta thường sử dụng các phương pháp sau:
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng. Góc này được tính bằng công thức:
sin(α) = |(a.n)| / (|a||n|)
Trong đó:
Bài tập 1: Cho đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và mặt phẳng (P): 2x - y + z - 5 = 0. Xác định vị trí tương quan giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Hướng dẫn: Thay phương trình tham số của đường thẳng d vào phương trình mặt phẳng (P). Nếu phương trình thu được có nghiệm, đường thẳng cắt mặt phẳng. Nếu phương trình vô nghiệm, đường thẳng song song với mặt phẳng. Nếu phương trình luôn đúng, đường thẳng nằm trong mặt phẳng.
Lý thuyết Đường thẳng và Mặt phẳng trong không gian là một phần quan trọng của chương trình Hình học không gian lớp 11. Việc nắm vững các khái niệm, định lý và phương pháp giải bài tập liên quan đến chủ đề này sẽ giúp bạn tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán phức tạp và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích và đầy đủ về Lý thuyết Đường thẳng và Mặt phẳng trong không gian - SGK Toán 11 Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt!
