Lý thuyết Hàm số lượng giác và đồ thị - SGK Toán 11 Cánh Diều

Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Hàm số lượng giác và đồ thị, thuộc chương trình SGK Toán 11 Cánh Diều tại giaitoan.edu.vn.

Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng về hàm số lượng giác, các tính chất, cách vẽ đồ thị và ứng dụng của chúng trong giải toán.

I. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn

I. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn

1. Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D.

Hàm số f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \(f( - x) = f(x)\). Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung (Oy) làm trục đối xứng.
Hàm số f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \(f( - x) = - f(x)\). Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

2. Hàm số tuần hoàn

Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số T \( \ne \) 0 sao cho với mọi \(x \in D\) ta có:

\(x + T \in D\) và \(x - T \in D\)
\(f(x + T) = f(x)\)

Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn cách điều kiện trên (nêu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.

3. Đồ thị và tính chất của hàm số y = sinx

Tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Tập giá trị là [-1;1].
Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì 2\(\pi \).
Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\) và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right)\).
Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ và gọi là một đường hình sin.

4. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cosx

Tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Tập giá trị là [-1;1].
Là hàm số chẵn và tuần hoàn chu kì 2\(\pi \).
Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \pi + k2\pi ;k2\pi } \right)\) và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right)\).
Có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.

5. Đồ thị và tính chất của hàm số y = tanx

Tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Tập giá trị là \(\mathbb{R}\).
Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì \(\pi \).
Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2} + k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right)\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

6. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cotx

Tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Tập giá trị là \(\mathbb{R}\).
Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì \(\pi \).
Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( {k\pi ;\pi + k\pi } \right)\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Chinh phục Toán 11, mở rộng cánh cửa Đại học trong tầm tay! Khám phá ngay Lý thuyết Hàm số lượng giác và đồ thị - SGK Toán 11 Cánh Diều – hành trang không thể thiếu trong chuyên mục Bài tập Toán lớp 11 trên nền tảng soạn toán. Bộ bài tập lý thuyết toán thpt được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề, sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, logic và hiệu quả học tập vượt trội!

Lý thuyết Hàm số lượng giác và đồ thị - SGK Toán 11 Cánh Diều

Hàm số lượng giác đóng vai trò quan trọng trong chương trình Toán học, đặc biệt là ở lớp 11. Việc nắm vững lý thuyết và kỹ năng vẽ đồ thị hàm số lượng giác là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong tương lai.

1. Khái niệm Hàm số lượng giác

Hàm số lượng giác là hàm số được xác định trên một tập hợp các số thực và có giá trị là một số thực. Các hàm số lượng giác cơ bản bao gồm:

Hàm số sin (sin x)
Hàm số cosin (cos x)
Hàm số tang (tan x)
Hàm số cotang (cot x)

Mỗi hàm số lượng giác có một tập xác định và tập giá trị riêng. Ví dụ, hàm số sin x và cos x có tập xác định là R (tập hợp tất cả các số thực), trong khi hàm số tan x và cot x có tập xác định là các số thực không bằng π/2 + kπ (k là số nguyên).

2. Tính chất của Hàm số lượng giác

Các hàm số lượng giác có nhiều tính chất quan trọng, bao gồm:

Tính tuần hoàn: Các hàm số sin x và cos x có chu kỳ là 2π, trong khi các hàm số tan x và cot x có chu kỳ là π.
Tính chẵn lẻ: Hàm số cos x là hàm chẵn, trong khi các hàm số sin x, tan x và cot x là hàm lẻ.
Tính đơn điệu: Các hàm số lượng giác không đơn điệu trên toàn bộ tập xác định của chúng, nhưng chúng có thể đơn điệu trên các khoảng con.

3. Đồ thị của Hàm số lượng giác

Đồ thị của hàm số lượng giác là biểu diễn hình học của hàm số đó trên mặt phẳng tọa độ. Việc vẽ đồ thị hàm số lượng giác giúp chúng ta hiểu rõ hơn về tính chất và hành vi của hàm số.

Dưới đây là một số đặc điểm chính của đồ thị các hàm số lượng giác:

Đồ thị hàm số sin x là một đường cong liên tục, dao động giữa -1 và 1.
Đồ thị hàm số cos x là một đường cong liên tục, dao động giữa -1 và 1.
Đồ thị hàm số tan x có các đường tiệm cận đứng tại x = π/2 + kπ (k là số nguyên).
Đồ thị hàm số cot x có các đường tiệm cận đứng tại x = kπ (k là số nguyên).

4. Các phép biến đổi đồ thị Hàm số lượng giác

Có một số phép biến đổi đồ thị có thể được áp dụng cho các hàm số lượng giác, bao gồm:

Tịnh tiến theo trục x: Thay x bằng x - a, đồ thị dịch chuyển sang phải a đơn vị nếu a > 0 và sang trái a đơn vị nếu a < 0.
Tịnh tiến theo trục y: Cộng hoặc trừ một hằng số vào hàm số, đồ thị dịch chuyển lên hoặc xuống.
Giãn hoặc nén theo trục x: Nhân x với một hằng số, đồ thị bị giãn hoặc nén theo trục x.
Giãn hoặc nén theo trục y: Nhân hàm số với một hằng số, đồ thị bị giãn hoặc nén theo trục y.

5. Ứng dụng của Hàm số lượng giác

Hàm số lượng giác có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau, bao gồm:

Vật lý: Mô tả các hiện tượng dao động, sóng.
Kỹ thuật: Thiết kế các mạch điện, xử lý tín hiệu.
Địa lý: Tính toán khoảng cách, độ cao.
Âm nhạc: Phân tích âm thanh, tạo ra các hiệu ứng âm thanh.

6. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = sin x trên khoảng [-2π, 2π].

Ví dụ 2: Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số y = tan(2x + π/3).

Ví dụ 3: Giải phương trình sin x = 1/2.

7. Kết luận

Hy vọng bài học về Lý thuyết Hàm số lượng giác và đồ thị - SGK Toán 11 Cánh Diều này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết để hiểu và giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số lượng giác. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và đạt kết quả tốt nhất.