Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập mục 2 trang 18 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều. Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp đáp án chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập toán học.
Bài tập này thuộc chương trình học Toán 11 tập 1, tập trung vào các kiến thức về phép biến hóa affine.
Tính (sin 2a,,,cos 2a,,,tan 2a) bằng cách thay (b = a) trong công thức cộng.
Tính \(\sin 2a,\,\,\cos 2a,\,\,\tan 2a\) bằng cách thay \(b = a\) trong công thức cộng.
Phương pháp giải:
Dựa vào công thức cộng để khai triển
Lời giải chi tiết:
\(\sin 2a = \sin \left( {a + a} \right) = \sin a.\cos a + \cos a.\sin a = 2\sin a\cos a\)
\(\begin{array}{l}\cos 2a = \cos \left( {a + a} \right) = \cos a.\cos a - \sin a.\sin a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a\\\tan 2a = \tan \left( {a + a} \right) = \frac{{\tan a + \tan a}}{{1 - \tan a.\tan a}} = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}\end{array}\)
Cho \(\tan \frac{\alpha }{2} = - 2\). Tính \(\tan \alpha \)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức nhân đôi
Lời giải chi tiết:
Áp dụng công thức nhân đôi ta có:
\(\tan \alpha = \frac{{2.\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 - {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}} = \frac{{2.( - 2)}}{{1 - {{( - 2)}^2}}} = \frac{4}{3}\)
Tính \(\sin \frac{\pi }{8};\cos \frac{\pi }{8}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức hạ bậc
Lời giải chi tiết:
Ta có : \({\sin ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{1 - \cos \frac{\pi }{4}}}{2} = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{4}\)
Mà \(\sin \frac{\pi }{8} > 0\) nên \(\sin \frac{\pi }{8} = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }}{2}\)
Ta có : \({\cos ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{1 + \cos \frac{\pi }{4}}}{2} = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{4}\)
Mà \(\cos \frac{\pi }{8} > 0\) nên \(\cos \frac{\pi }{8} = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{2}\)
Mục 2 trang 18 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều là một phần quan trọng trong chương trình học về phép biến hóa affine. Nội dung chính của mục này tập trung vào việc hiểu rõ khái niệm, tính chất và ứng dụng của phép biến hóa affine trong giải quyết các bài toán hình học.
Phép biến hóa affine là một phép biến đổi hình học bảo toàn tính thẳng hàng và tỷ số khoảng cách giữa các điểm. Nói cách khác, nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì ba điểm A', B', C' (ảnh của A, B, C qua phép biến hóa affine) cũng thẳng hàng và AB/BC = A'B'/B'C'.
Một phép biến hóa affine trong mặt phẳng có thể được biểu diễn bằng phương trình:
x' = ax + by + c
y' = dx + ey + f
Trong đó, a, b, c, d, e, f là các hằng số thực. Ma trận của phép biến hóa affine được biểu diễn như sau:
M = [[a, b], [d, e]]
Bài tập 1: Cho phép biến hóa affine f(x, y) = (2x + y, x - y). Tìm ảnh của điểm A(1, 2) qua phép biến hóa f.
Lời giải:
f(1, 2) = (2*1 + 2, 1 - 2) = (4, -1). Vậy ảnh của điểm A(1, 2) qua phép biến hóa f là A'(4, -1).
Bài tập 2: Chứng minh rằng phép biến hóa affine f(x, y) = (ax + by + c, dx + ey + f) bảo toàn tính thẳng hàng của ba điểm bất kỳ.
Lời giải:
Giả sử A, B, C thẳng hàng. Khi đó, tồn tại số k sao cho B - A = k(C - A). Áp dụng phép biến hóa f cho các điểm A, B, C, ta có:
f(B) - f(A) = a(B - A) + b(B - A) + c - c = (a + b)(B - A)
f(C) - f(A) = a(C - A) + b(C - A) + c - c = (a + b)(C - A)
Do đó, f(B) - f(A) = k(f(C) - f(A)), suy ra A', B', C' thẳng hàng.
Phép biến hóa affine có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau, bao gồm:
Để hiểu sâu hơn về phép biến hóa affine, các em có thể tìm hiểu thêm về các loại phép biến hóa affine đặc biệt như phép tịnh tiến, phép quay, phép co giãn, phép chiếu affine. Ngoài ra, các em có thể tự giải thêm các bài tập nâng cao để rèn luyện kỹ năng và củng cố kiến thức.
Hy vọng với lời giải chi tiết và những kiến thức được trình bày trên đây, các em sẽ hiểu rõ hơn về mục 2 trang 18 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều và tự tin giải các bài tập liên quan. Chúc các em học tập tốt!
