Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập mục 4 trang 19, 20 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều. Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp các bài giải được trình bày rõ ràng, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Mục tiêu của chúng tôi là hỗ trợ các em học tập hiệu quả, tiết kiệm thời gian và đạt kết quả tốt nhất trong môn Toán.
Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng và đặt (a + b = u;,,a - b = v) biến đổi các biểu thức sau thành tích: (cos u + cos v;,,cos u - cos v;,,sin u + sin v;,,sin u - sin v)
Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng và đặt \(a + b = u;\,\,a - b = v\) biến đổi các biểu thức sau thành tích: \(\cos u + \cos v;\,\,\cos u - \cos v;\,\,\sin u + \sin v;\,\,\sin u - \sin v\)
Phương pháp giải:
Dựa vào công thức biến tích thành tổng để biến đổi:
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}1.\,\,\,\,\cos a.\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right] \Leftrightarrow 2\cos a.\cos b = \cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)\\ \Leftrightarrow 2\cos \frac{{u + v}}{2}.\cos \frac{{u - v}}{2} = \cos u + \cos v\\2.\,\,\,\,\sin a.\sin b = - \frac{1}{2}.\left[ {\cos \left( {a + b} \right) - \cos \left( {a - b} \right)} \right] \Leftrightarrow - 2.\sin a.\sin b = \cos \left( {a + b} \right) - \cos \left( {a - b} \right)\\ \Leftrightarrow - 2.\sin \frac{{u + v}}{2}.\sin \frac{{u - v}}{2} = \cos u - \cos v\\3.\,\,\,\,\sin a.\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right] \Leftrightarrow 2\sin a.\cos b = \sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)\\ \Leftrightarrow 2\sin \frac{{u + v}}{2}.\cos \frac{{u - v}}{2} = \sin u + \sin v\\4.\,\,\,\,\sin \left( {a + b} \right) - \sin \left( {a - b} \right) = \sin a.\cos b + \cos a.\sin b - \sin a.\cos b + \cos a.\sin b = 2\cos a.\sin b\\ \Leftrightarrow \sin u - \sin v = 2.\cos \frac{{u + v}}{2}.\sin \frac{{u - v}}{2}\end{array}\)
Tính \(D = \frac{{\sin \frac{{7\pi }}{9} + \sin \frac{\pi }{9}}}{{\cos \frac{{7\pi }}{9} - \cos \frac{\pi }{9}}}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(D = \frac{{\sin \frac{{7\pi }}{9} + \sin \frac{\pi }{9}}}{{\cos \frac{{7\pi }}{9} - \cos \frac{\pi }{9}}} = \frac{{2.\sin \left( {\frac{{\frac{{7\pi }}{9} + \frac{\pi }{9}}}{2}} \right).\cos \left( {\frac{{\frac{{7\pi }}{9} - \frac{\pi }{9}}}{2}} \right)}}{{ - 2.\sin \left( {\frac{{\frac{{7\pi }}{9} + \frac{\pi }{9}}}{2}} \right).\sin \left( {\frac{{\frac{{7\pi }}{9} - \frac{\pi }{9}}}{2}} \right)}} = -\cot \frac{\pi }{3} = -\frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
Mục 4 của chương trình Toán 11 tập 1 - Cánh Diều tập trung vào các kiến thức về vectơ trong không gian. Các bài tập trang 19 và 20 SGK yêu cầu học sinh vận dụng các định nghĩa, tính chất của vectơ, các phép toán vectơ (cộng, trừ, nhân với một số thực) và các ứng dụng của vectơ trong việc chứng minh các đẳng thức vectơ, xác định vị trí tương đối của các điểm trong không gian.
Bài tập này yêu cầu học sinh xác định vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của một đường thẳng cho trước. Để làm được bài này, học sinh cần nắm vững định nghĩa của vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến, cũng như các phương pháp tìm vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến từ phương trình đường thẳng hoặc từ hai điểm thuộc đường thẳng.
Bài tập này yêu cầu học sinh xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian (song song, cắt nhau, chéo nhau). Để làm được bài này, học sinh cần nắm vững các điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau hoặc chéo nhau, cũng như các phương pháp kiểm tra các điều kiện này.
Bài tập này yêu cầu học sinh tính góc giữa hai vectơ. Để làm được bài này, học sinh cần nắm vững công thức tính góc giữa hai vectơ: cos(θ) = (a.b) / (|a||b|), trong đó a và b là hai vectơ, a.b là tích vô hướng của hai vectơ, |a| và |b| là độ dài của hai vectơ.
Bài tập này yêu cầu học sinh chứng minh một đẳng thức vectơ. Để làm được bài này, học sinh cần nắm vững các tính chất của các phép toán vectơ, cũng như các phương pháp chứng minh đẳng thức vectơ (ví dụ: sử dụng tọa độ vectơ, sử dụng các quy tắc biến đổi vectơ).
Để giải các bài tập về vectơ trong không gian một cách hiệu quả, học sinh cần:
Vectơ trong không gian có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:
Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng bài tập trong mục 4 trang 19, 20 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều. Chúng tôi sẽ trình bày lời giải một cách rõ ràng, dễ hiểu, kèm theo các giải thích chi tiết để giúp các em hiểu rõ bản chất của bài toán.
| Bài tập | Lời giải |
|---|---|
| Bài 1 | (Lời giải chi tiết bài 1) |
| Bài 2 | (Lời giải chi tiết bài 2) |
| Bài 3 | (Lời giải chi tiết bài 3) |
| Bài 4 | (Lời giải chi tiết bài 4) |
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết này, các em sẽ hiểu rõ hơn về các kiến thức về vectơ trong không gian và tự tin giải các bài tập tương tự. Chúc các em học tập tốt!
