Bài 2 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Bài 2 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Phân tích và Giải chi tiết

Bài 2 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về hàm số và đồ thị để giải quyết các bài toán thực tế. Bài tập này yêu cầu học sinh phải nắm vững các khái niệm về tập xác định, tập giá trị, tính đơn điệu và cực trị của hàm số.

Nội dung bài tập:

Bài 2 yêu cầu học sinh xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 và thực hiện các yêu cầu sau:

1. Xác định tập xác định của hàm số.
2. Tính f(0), f(1), f(2).
3. Tìm các điểm uốn, điểm cực đại, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
4. Vẽ đồ thị hàm số.

Giải chi tiết:

1. Tập xác định:

Hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 là một hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là tập số thực, tức là D = ℝ.

2. Tính f(0), f(1), f(2):

• f(0) = 0³ - 3(0)² + 2 = 2
• f(1) = 1³ - 3(1)² + 2 = 0
• f(2) = 2³ - 3(2)² + 2 = 0

3. Tìm điểm uốn, điểm cực đại, điểm cực tiểu:

Để tìm điểm uốn, điểm cực đại, điểm cực tiểu, ta cần tính đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc hai của hàm số:

• f'(x) = 3x² - 6x
• f''(x) = 6x - 6

a. Tìm điểm cực trị:

Giải phương trình f'(x) = 0:

3x² - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0

Vậy x = 0 hoặc x = 2.

Tính f''(x) tại các điểm này:

• f''(0) = 6(0) - 6 = -6 < 0 ⇒ Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là f(0) = 2.
• f''(2) = 6(2) - 6 = 6 > 0 ⇒ Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là f(2) = 0.

b. Tìm điểm uốn:

Giải phương trình f''(x) = 0:

6x - 6 = 0 ⇔ x = 1

Tính f'''(x) = 6 ≠ 0, vậy x = 1 là điểm uốn của đồ thị hàm số. Giá trị tại điểm uốn là f(1) = 0.

4. Vẽ đồ thị hàm số:

Dựa vào các thông tin đã tính toán, ta có thể vẽ đồ thị hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2. Đồ thị hàm số có:

• Điểm cực đại: (0, 2)
• Điểm cực tiểu: (2, 0)
• Điểm uốn: (1, 0)
• Cắt trục Oy tại điểm (0, 2)
• Cắt trục Ox tại các điểm (1, 0) và (2, 0)

Kết luận:

Bài 2 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều đã được giải chi tiết, giúp học sinh hiểu rõ cách vận dụng kiến thức về hàm số và đồ thị để giải quyết bài toán. Việc nắm vững các bước giải và hiểu rõ ý nghĩa của các kết quả sẽ giúp bạn tự tin hơn trong quá trình học tập và làm bài tập.

Hy vọng bài giải này sẽ hữu ích cho bạn. Chúc bạn học tốt!