Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết các quy tắc tính đạo hàm trong chương trình Toán 11 Cánh diều. Đây là một phần kiến thức quan trọng, nền tảng cho việc giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong các lĩnh vực khác.
Bài học này sẽ cung cấp cho bạn một cách tiếp cận toàn diện, từ các khái niệm cơ bản đến các quy tắc tính đạo hàm phức tạp, cùng với các ví dụ minh họa cụ thể để bạn dễ dàng nắm bắt và vận dụng.
1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương Giả sử f = f(x), g = g(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.
1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
Giả sử f = f(x), g = g(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {f + g} \right)' = f' + g';\\\left( {f - g} \right)' = f' - g';\\\left( {fg} \right)' = f'g + fg';\\\left( {\frac{f}{g}} \right)' = \frac{{f'g - fg'}}{{{g^2}}}\left( {g = g\left( x \right) \ne 0} \right).\end{array}\)
2. Đạo hàm của hàm hợp
Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là \(u{'_x}\) và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại y là \(y{'_u}\) thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là \(y{'_x} = y{'_u}.u{'_x}\).
3. Bảng đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản và hàm hợp
Đạo hàm là một khái niệm cơ bản trong giải tích, đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu sự thay đổi của hàm số. Trong chương trình Toán 11 Cánh diều, học sinh được giới thiệu về các quy tắc tính đạo hàm, giúp đơn giản hóa quá trình tìm đạo hàm của các hàm số phức tạp.
Trước khi đi vào các quy tắc, chúng ta cần nắm vững đạo hàm của một số hàm số cơ bản:
Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm tại x, thì:
Quy tắc này cho phép chúng ta tính đạo hàm của một hàm số là tổng hoặc hiệu của nhiều hàm số đơn giản bằng cách tính đạo hàm của từng hàm số thành phần và cộng hoặc trừ chúng lại.
Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm tại x, thì:
(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
Đây là quy tắc quan trọng để tính đạo hàm của tích hai hàm số. Lưu ý rằng đạo hàm của tích không phải là tích của các đạo hàm.
Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm tại x và v(x) ≠ 0, thì:
(u(x)/v(x))' = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x))/v2(x)
Tương tự như quy tắc đạo hàm của tích, quy tắc đạo hàm của thương cũng cần được áp dụng cẩn thận để tránh sai sót.
Nếu y = f(u) và u = g(x), thì:
dy/dx = (dy/du) * (du/dx)
Quy tắc này cho phép chúng ta tính đạo hàm của một hàm hợp bằng cách nhân đạo hàm của hàm ngoài với đạo hàm của hàm trong.
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x2 + 2x - 1
f'(x) = (3x2)' + (2x)' - (1)' = 6x + 2 - 0 = 6x + 2
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số g(x) = sin(x2)
Đặt u = x2, thì g(x) = sin(u). Do đó, g'(x) = (sin(u))' * (x2)' = cos(u) * 2x = cos(x2) * 2x = 2xcos(x2)
Để nắm vững các quy tắc tính đạo hàm, bạn cần luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau. Hãy bắt đầu với các bài tập đơn giản và dần dần tăng độ khó. Ngoài ra, hãy cố gắng áp dụng các quy tắc này vào việc giải quyết các bài toán thực tế để hiểu rõ hơn về ứng dụng của đạo hàm.
Lý thuyết các quy tắc tính đạo hàm là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 11 Cánh diều. Việc nắm vững các quy tắc này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán đạo hàm một cách nhanh chóng và chính xác. Chúc bạn học tập tốt!
