Chào mừng bạn đến với bài học lý thuyết phương trình lượng giác cơ bản dành cho học sinh lớp 11 chương trình Cánh Diều. Đây là một phần kiến thức quan trọng, đặt nền móng cho việc giải quyết các bài toán lượng giác phức tạp hơn trong tương lai.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững các khái niệm, công thức và phương pháp giải phương trình lượng giác một cách hiệu quả.
1. Khái niệm phương trình tương đương
1. Khái niệm phương trình tương đương
- Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
- Nếu phương trình f(x) =0 tương đương với phương trình g(x) =0 thì ta viết \(f(x) = 0 \Leftrightarrow g(x) = 0\)
*Chú ý: Hai phương trình vô nghiệm là hai phương trình tương đương.
- Các phép biến đổi tương đương:
+ Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức.
+ Nhân hoặc chia 2 vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.
2. Phương trình \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = m\)
Phương trình sinx=m có nghiệm khi và chỉ khi \(\left| m \right| \le 1\).
Khi \(\left| m \right| \le 1\)sẽ tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) thoả mãn \(\sin \alpha = m\). Khi đó:
\({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = m \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
* Chú ý:
a, Nếu số đo của góc \(\alpha \)được cho bằng đơn vị độ thì \(\sin x = \sin {\alpha ^o} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\alpha ^o} + k{360^o}\\x = {180^o} - {\alpha ^o} + k{360^o}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b,Một số trường hợp đặc biệt
\(\begin{array}{l}\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)
3. Phương trình \({\rm{cosx}} = m\)
Phương trình \({\rm{cosx}} = m\) có nghiệm khi và chỉ khi \(\left| m \right| \le 1\).
Khi \(\left| m \right| \le 1\) sẽ tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left[ {0;\pi } \right]\) thoả mãn \({\rm{cos}}\alpha = m\). Khi đó:
\({\rm{cosx}} = m \Leftrightarrow {\rm{cosx}} = {\rm{cos}}\alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
* Chú ý:
a, Nếu số đo của góc \(\alpha \)được cho bằng đơn vị độ thì \(\cos x = \cos {\alpha ^o} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\alpha ^o} + k{360^o}\\x = - {\alpha ^o} + k{360^o}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b, Một số trường hợp đặc biệt
\(\begin{array}{l}{\rm{cos}}x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\{\rm{cos}}x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\{\rm{cos}}x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)
4. Phương trình \(\tan x = m\)
Phương trình \(\tan x = m\)có nghiệm với mọi m.
Với mọi \(m \in \mathbb{R}\), tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) thoả mãn \(\tan \alpha = m\). Khi đó:
\(\tan {\rm{x}} = m \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
*Chú ý: Nếu số đo của góc \(\alpha \)được cho bằng đơn vị độ thì
\(\tan x = \tan {\alpha ^o} \Leftrightarrow x = {\alpha ^o} + k{180^o},k \in \mathbb{Z}.\)
5. Phương trình \(\cot x = m\)
Phương trình \(\cot x = m\)có nghiệm với mọi m.
Với mọi \(m \in \mathbb{R}\), tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left( {0;\pi } \right)\) thoả mãn \(\cot \alpha = m\). Khi đó:
\(\cot {\rm{x}} = m \Leftrightarrow \cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
*Chú ý: Nếu số đo của góc \(\alpha \)được cho bằng đơn vị độ thì
\(\cot x = \cot {\alpha ^o} \Leftrightarrow x = {\alpha ^o} + k{180^o},k \in \mathbb{Z}.\)
6. Sử dụng máy tính cầm tay tìm góc khi biết giá trị lượng giác của nó
Bước 1. Chọn đơn vị đo góc (độ hoặc radian).
Muốn tìm số đo độ, ta ấn: SHIFT \( \to \)MODE \( \to \)3 (CASIO FX570VN).
Muốn tìm số đo radian, ta ấn: SHIFT \( \to \)MODE \( \to \)4 (CASIO FX570VN).
Bước 2. Tìm số đo góc.
Khi biết SIN, COS, TANG của góc \(\alpha \)ta cần tìm bằng m, ta lần lượt ấn các phím SHIFT và một trong các phím SIN, COS, TANG rồi nhập giá trị lượng giác m và cuối cùng ấn phím “BẰNG =”. Lúc này trên màn hình cho kết quả là số đo của góc \(\alpha \)
Phương trình lượng giác là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 11, đặc biệt là với sách giáo khoa Cánh Diều. Việc nắm vững lý thuyết cơ bản là điều kiện tiên quyết để giải quyết thành công các bài tập liên quan. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan và chi tiết về lý thuyết phương trình lượng giác cơ bản, giúp bạn hiểu rõ các khái niệm, công thức và phương pháp giải.
Phương trình lượng giác là phương trình có chứa hàm số lượng giác (sin, cos, tan, cot). Nghiệm của phương trình lượng giác là giá trị của biến số (thường là x) sao cho phương trình được thỏa mãn.
Có một số loại phương trình lượng giác cơ bản thường gặp:
Để giải các phương trình lượng giác cơ bản, chúng ta cần sử dụng các công thức lượng giác và các tính chất của hàm số lượng giác.
Nếu -1 ≤ a ≤ 1, phương trình sin(x) = a có các nghiệm:
Nếu -1 ≤ a ≤ 1, phương trình cos(x) = a có các nghiệm:
Phương trình tan(x) = a có các nghiệm:
Phương trình cot(x) = a có các nghiệm:
Để giải các phương trình lượng giác phức tạp hơn, chúng ta cần nắm vững các công thức lượng giác sau:
Dưới đây là một số bài tập vận dụng để bạn luyện tập:
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết phương trình lượng giác. Chúc bạn học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!