Logo Header
  1. Môn Toán
  2. Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản - SGK Toán 11 Cánh Diều

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản - SGK Toán 11 Cánh Diều

Lý Thuyết Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản - Nền Tảng Toán 11 Cánh Diều

Chào mừng bạn đến với bài học lý thuyết phương trình lượng giác cơ bản dành cho học sinh lớp 11 chương trình Cánh Diều. Đây là một phần kiến thức quan trọng, đặt nền móng cho việc giải quyết các bài toán lượng giác phức tạp hơn trong tương lai.

Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững các khái niệm, công thức và phương pháp giải phương trình lượng giác một cách hiệu quả.

1. Khái niệm phương trình tương đương

1. Khái niệm phương trình tương đương

- Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

- Nếu phương trình f(x) =0 tương đương với phương trình g(x) =0 thì ta viết \(f(x) = 0 \Leftrightarrow g(x) = 0\)

*Chú ý: Hai phương trình vô nghiệm là hai phương trình tương đương.

- Các phép biến đổi tương đương:

+ Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức.

+ Nhân hoặc chia 2 vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.

2. Phương trình \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = m\)

Phương trình sinx=m có nghiệm khi và chỉ khi \(\left| m \right| \le 1\).

Khi \(\left| m \right| \le 1\)sẽ tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) thoả mãn \(\sin \alpha = m\). Khi đó:

\({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = m \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

* Chú ý:

a, Nếu số đo của góc \(\alpha \)được cho bằng đơn vị độ thì \(\sin x = \sin {\alpha ^o} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\alpha ^o} + k{360^o}\\x = {180^o} - {\alpha ^o} + k{360^o}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b,Một số trường hợp đặc biệt

\(\begin{array}{l}\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)

3. Phương trình \({\rm{cosx}} = m\)

Phương trình \({\rm{cosx}} = m\) có nghiệm khi và chỉ khi \(\left| m \right| \le 1\).

Khi \(\left| m \right| \le 1\) sẽ tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left[ {0;\pi } \right]\) thoả mãn \({\rm{cos}}\alpha = m\). Khi đó:

\({\rm{cosx}} = m \Leftrightarrow {\rm{cosx}} = {\rm{cos}}\alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

* Chú ý:

a, Nếu số đo của góc \(\alpha \)được cho bằng đơn vị độ thì \(\cos x = \cos {\alpha ^o} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\alpha ^o} + k{360^o}\\x = - {\alpha ^o} + k{360^o}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b, Một số trường hợp đặc biệt

\(\begin{array}{l}{\rm{cos}}x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\{\rm{cos}}x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\{\rm{cos}}x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)

4. Phương trình \(\tan x = m\)

Phương trình \(\tan x = m\)có nghiệm với mọi m.

Với mọi \(m \in \mathbb{R}\), tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) thoả mãn \(\tan \alpha = m\). Khi đó:

\(\tan {\rm{x}} = m \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)

*Chú ý: Nếu số đo của góc \(\alpha \)được cho bằng đơn vị độ thì

\(\tan x = \tan {\alpha ^o} \Leftrightarrow x = {\alpha ^o} + k{180^o},k \in \mathbb{Z}.\)

5. Phương trình \(\cot x = m\)

Phương trình \(\cot x = m\)có nghiệm với mọi m.

Với mọi \(m \in \mathbb{R}\), tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left( {0;\pi } \right)\) thoả mãn \(\cot \alpha = m\). Khi đó:

\(\cot {\rm{x}} = m \Leftrightarrow \cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)

*Chú ý: Nếu số đo của góc \(\alpha \)được cho bằng đơn vị độ thì

\(\cot x = \cot {\alpha ^o} \Leftrightarrow x = {\alpha ^o} + k{180^o},k \in \mathbb{Z}.\)

6. Sử dụng máy tính cầm tay tìm góc khi biết giá trị lượng giác của nó

Bước 1. Chọn đơn vị đo góc (độ hoặc radian).

Muốn tìm số đo độ, ta ấn: SHIFT \( \to \)MODE \( \to \)3 (CASIO FX570VN).

Muốn tìm số đo radian, ta ấn: SHIFT \( \to \)MODE \( \to \)4 (CASIO FX570VN).

Bước 2. Tìm số đo góc.

Khi biết SIN, COS, TANG của góc \(\alpha \)ta cần tìm bằng m, ta lần lượt ấn các phím SHIFT và một trong các phím SIN, COS, TANG rồi nhập giá trị lượng giác m và cuối cùng ấn phím “BẰNG =”. Lúc này trên màn hình cho kết quả là số đo của góc \(\alpha \)

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản - SGK Toán 11 Cánh Diều 1

Chinh phục Toán 11, mở rộng cánh cửa Đại học trong tầm tay! Khám phá ngay Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản - SGK Toán 11 Cánh Diều – hành trang không thể thiếu trong chuyên mục Đề thi Toán lớp 11 trên nền tảng học toán. Bộ bài tập toán thpt được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề, sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, logic và hiệu quả học tập vượt trội!

Lý Thuyết Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản - SGK Toán 11 Cánh Diều

Phương trình lượng giác là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 11, đặc biệt là với sách giáo khoa Cánh Diều. Việc nắm vững lý thuyết cơ bản là điều kiện tiên quyết để giải quyết thành công các bài tập liên quan. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan và chi tiết về lý thuyết phương trình lượng giác cơ bản, giúp bạn hiểu rõ các khái niệm, công thức và phương pháp giải.

1. Khái Niệm Phương Trình Lượng Giác

Phương trình lượng giác là phương trình có chứa hàm số lượng giác (sin, cos, tan, cot). Nghiệm của phương trình lượng giác là giá trị của biến số (thường là x) sao cho phương trình được thỏa mãn.

2. Các Loại Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản

Có một số loại phương trình lượng giác cơ bản thường gặp:

  • Phương trình sin(x) = a (với -1 ≤ a ≤ 1)
  • Phương trình cos(x) = a (với -1 ≤ a ≤ 1)
  • Phương trình tan(x) = a (với mọi a ∈ ℝ)
  • Phương trình cot(x) = a (với mọi a ∈ ℝ)

3. Phương Pháp Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản

Để giải các phương trình lượng giác cơ bản, chúng ta cần sử dụng các công thức lượng giác và các tính chất của hàm số lượng giác.

3.1. Giải Phương Trình sin(x) = a

Nếu -1 ≤ a ≤ 1, phương trình sin(x) = a có các nghiệm:

  • x = arcsin(a) + k2π (k ∈ ℤ)
  • x = π - arcsin(a) + k2π (k ∈ ℤ)
3.2. Giải Phương Trình cos(x) = a

Nếu -1 ≤ a ≤ 1, phương trình cos(x) = a có các nghiệm:

  • x = arccos(a) + k2π (k ∈ ℤ)
  • x = -arccos(a) + k2π (k ∈ ℤ)
3.3. Giải Phương Trình tan(x) = a

Phương trình tan(x) = a có các nghiệm:

  • x = arctan(a) + kπ (k ∈ ℤ)
3.4. Giải Phương Trình cot(x) = a

Phương trình cot(x) = a có các nghiệm:

  • x = arccot(a) + kπ (k ∈ ℤ)

4. Các Công Thức Lượng Giác Quan Trọng

Để giải các phương trình lượng giác phức tạp hơn, chúng ta cần nắm vững các công thức lượng giác sau:

  • sin2(x) + cos2(x) = 1
  • tan(x) = sin(x) / cos(x)
  • cot(x) = cos(x) / sin(x)
  • Công thức cộng và hiệu lượng giác
  • Công thức nhân đôi và nhân ba lượng giác

5. Bài Tập Vận Dụng

Dưới đây là một số bài tập vận dụng để bạn luyện tập:

  1. Giải phương trình sin(x) = 1/2
  2. Giải phương trình cos(x) = -√2/2
  3. Giải phương trình tan(x) = 1
  4. Giải phương trình cot(x) = 0

6. Lưu Ý Khi Giải Phương Trình Lượng Giác

  • Kiểm tra điều kiện xác định của phương trình.
  • Sử dụng đúng công thức lượng giác.
  • Biết cách tìm nghiệm tổng quát của phương trình.
  • Kiểm tra lại nghiệm để đảm bảo tính chính xác.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết phương trình lượng giác. Chúc bạn học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!

Tài liệu, đề thi và đáp án Toán 11