Chào mừng bạn đến với giaitoan.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho bài tập Toán 11. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 10 trang 46 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải toán đôi khi có thể gặp khó khăn. Vì vậy, chúng tôi luôn cố gắng trình bày lời giải một cách rõ ràng, logic và dễ tiếp thu nhất.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right]\).
Đề bài
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right]\).
a) Viết bốn số hạng đầu của dãy số.
b) Chứng minh rằng \({u_{n + 4}} = {u_n}\) với mọi \(n \ge 1\).
c) Tính tổng 12 số hạng đầu của dãy số.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Thay \(n = 1,{\rm{ }}2,{\rm{ 3, 4}}\) vào công thức \({u_n} = \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right]\)để xác định 4 số hạng đầu của dãy số.
b) Thay \(n\) bởi \(n + 4\) vào công thức \({u_n} = \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right]\)để xác định \({u_{n + 4}}\) và chú ý rằng \(\sin \left( {x + k2\pi } \right) = \sin x\).
c) Sử dụng kết quả câu b, ta có \({u_1} = {u_5} = {u_9}\), \({u_2} = {u_6} = {u_{10}}\),\({u_3} = {u_7} = {u_{11}}\), \({u_4} = {u_8} = {u_{12}}\). Do đó tổng 12 số hạng đầu tiên bằng \(3\left( {{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4}} \right)\).
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
\({u_1} = \sin \left[ {\left( {2.1 - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = \sin \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\({u_2} = \sin \left[ {\left( {2.2 - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = \sin \frac{{3\pi }}{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\({u_3} = \sin \left[ {\left( {2.3 - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = \sin \frac{{5\pi }}{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\({u_4} = \sin \left[ {\left( {2.4 - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = \sin \frac{{7\pi }}{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Như vậy 4 số hạng đầu của dãy số là: \(\frac{{\sqrt 2 }}{2},\frac{{\sqrt 2 }}{2}, - \frac{{\sqrt 2 }}{2}, - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
b) Ta có:
\({u_{n + 4}} = \sin \left\{ {\left[ {2\left( {n + 4} \right) - 1} \right]\frac{\pi }{4}} \right\} = \sin \left[ {\left( {2n - 1 + 8} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4} + 2\pi } \right] = \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = {u_n}\)
Vậy \({u_{n + 4}} = {u_n}\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
c) Theo câu b, ta có \({u_{n + 4}} = {u_n}\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Như vậy \({u_1} = {u_5} = {u_9}\), \({u_2} = {u_6} = {u_{10}}\),\({u_3} = {u_7} = {u_{11}}\), \({u_4} = {u_8} = {u_{12}}\).
Do đó:
\({u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_{12}} = 3\left( {{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4}} \right) = 3\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{ - \sqrt 2 }}{2} + \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}} \right) = 0\)
Bài 10 trang 46 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về vectơ trong không gian. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về các phép toán vectơ, tích vô hướng, và các tính chất liên quan để giải quyết các bài toán hình học không gian.
Bài 10 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải bài tập bài 10 trang 46 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều một cách hiệu quả, bạn có thể áp dụng các phương pháp sau:
Bài tập: Cho hai vectơ a = (1; 2; 3) và b = (-2; 1; 0). Tính tích vô hướng của hai vectơ này.
Giải: Tích vô hướng của hai vectơ a và b được tính theo công thức:
a ⋅ b = xaxb + yayb + zazb
Trong đó, a = (xa; ya; za) và b = (xb; yb; zb).
Áp dụng công thức, ta có:
a ⋅ b = (1)(-2) + (2)(1) + (3)(0) = -2 + 2 + 0 = 0
Vậy, tích vô hướng của hai vectơ a và b là 0.
Khi giải bài tập về vectơ, bạn cần chú ý đến các yếu tố sau:
Bài 10 trang 46 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp bạn củng cố kiến thức về vectơ trong không gian. Hy vọng rằng với hướng dẫn chi tiết và các phương pháp giải bài tập được trình bày trong bài viết này, bạn sẽ có thể giải quyết bài tập một cách dễ dàng và hiệu quả.
Chúc bạn học tập tốt!
